on obtiendra le même reste qu’en divisant par ce diviseur ; donc, quand bien même serait premier avec on aurait là une somme de puissances consécutives exactement divisible par on a donc ce théorème :
Il y a toujours une somme de puissances consécutives d’un nombre donné quelconque, exactement divisible par un diviseur quelconque.
Soit le nombre des puissances dont se compose cette somme, de manière que
soit divisible par ; il en sera évidemment de même de
quel que soit or, c’est là la somme de termes consécutifs d’une progression quelconque par quotiens ; donc
Dans une progression donnée, par quotiens, quelle qu’elle soit, on peut toujours choisir des termes consécutifs en nombre tel que leur somme soit exactement divisible par un diviseur donné quelconque.
Soit un nombre de chiffres au plus et soit cette somme de termes deviendra
or, c’est là précisément un nombre formé de périodes égales à , suivies de zéros ; ce nombre est donc divisible par le théorème se trouve donc démontré.
Si l’on suppose, en particulier, on aura cet autre théorème :
Tout nombre est diviseur d’un nombre exprimé par un chiffre