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2. Soient, par exemple, les deux équations

$x^{4}-12x^{2}-64=0,\qquad x^{2}-x-6=0\,;$

en les amenant à la forme

$x={\sqrt {3+4{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt {3-4{\sqrt {-1}}}},\qquad x=1+{\frac {6}{1+{\frac {6}{1+{\frac {6}{1+{\frac {6}{1+\ldots }}}}}}}},$

elles se trouveront l’une et l’autre résolues ; mais, ni dans l’une ni dans l’autre, l’évaluation de l’inconnue n’aura été effectuée ; cette évaluation se présente même sous une apparente impossibilité, quant à la première ; et quant à la seconde, elle semble exiger une infinité d’opérations.

3. Sous quelque forme que se présente l’inconnue, dans l’équation résolue, sa valeur numérique devra toujours être la même ; mais les opérations arithmétiques à exécuter pour obtenir cette valeur pourront être variées d’un grand nombre de manières différentes ; c’est-à-dire que la résolution de l’équation peut présenter l’inconnue sous un grand nombre de formes diverses. Ainsi, par exemple, l’équation

$x^{4}-4ax^{2}-4b^{2}=0,$

donne ces deux formes de solutions

$x={\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}},\qquad x={\sqrt {2\left(a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)}}\,;$

l’équation

$x^{2}-ax-b=0,$

donne ces deux-ci :