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17. On pourrait aussi mettre l’équation (1) sous la forme

$x=A+\operatorname {f} (B+\varphi x),\qquad$(8)

d’où résulterait

$x=A+f\left(B+\varphi \left(A+f\left(B+\varphi \left(A+\ldots \right)\right)\right)\right)\,;\qquad$(9)

fonction périodique à périodes de deux termes, et l’on voit aisément ce qu’il y aurait à faire pour obtenir la valeur de $x$ sous forme de fonction périodique ayant des périodes de tant de termes qu’on le désirerait.

18. Réciproquement, si un problème conduit à une équation en $x$ de quelqu’une des formes (3), (5), (7), (9), on pourra d’abord mettre cette équation sous l’une des formes (2), (4), (6), (8), puis ensuite sous la forme (1), ce qui permettra souvent d’obtenir la valeur de $x$ sous forme finie.

19. La sommation des termes d’une progression géométrique décroissante à l’infini se déduit bien simplement de ce qui précède ; si, en effet, on a

$x=a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\ldots ,$

on pourra d’abord écrire

$x=a+q(a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\ldots ,$

puis,

$x=a+qx,\quad$ou$\quad (1-q)x=a,$

d’où

$x={\frac {a}{1-q}}.$

20. D’après la remarque que nous avons faite (5), l’équation