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dans lequel $m$ et $n$ sont supposés deux nombres entiers positifs. Ces nombres pourront être ou tous deux pairs ou tous deux impairs, ou bien l’un pair et l’autre impair.

Dans le premier cas, $m-n$ et $m+n$ seront aussi de nombres pairs, de sorte que le produit $P$ sera divisible par $16.$

Dans le second cas, $m-n$ et $m+n$ seront encore deux nombres pairs, de sorte que le produit $P$ sera divisible par $4.$

Enfin, dans le troisième cas, $m-n$ et $m+n$ seront tous deux des nombres impairs ; de sorte que le produit $P$ ne sera plus divisible que par $2$ ; ainsi ce produit sera pair dans tous les cas.

Je des présentement que ce même produit sera aussi, dans tous les cas, divisible par $3.$ Cela est d’abord manifeste si $m$ ou $n$ et à plus forte raison si l’un et l’autre sont divisibles par $3$ ; de sorte qu’il ne peut y avoir lieu à discussion que lorsqu’ils ne le sont ni l’un ni l’autre.

Or, dans cette hypothèse, $m$ et $n$ ne peuvent présenter chacun que ces deux formes ; savoir :

$m$ les formes $3p+1$ et $3p+2,$

$n$ les formes $3q+1$ et $3q+2\,;$

s’ils sont des deux premières ou des deux dernières, $m-n$ sera divisible par $3$ ; et ce sera $m+n$ qui le sera s’ils sont l’un de la première et l’autre de la seconde ; d’où l’on voit que, dans tous les cas, le produit $P$ sera divisible par $3$ ; et puisque, dans tous les cas, il est ainsi divisible par $2,$ il sera, dans tous les cas, divisible par $6.$

Je dis en outre que si, ni $m,$ ni $n$, ni $m+n$, ni $m-n$ ne sont divisibles par $5,\ m^{2}+n^{2}$ sera nécessairement divisible par $5;$ en effet, dans ce cas, $m$ et $n$ ne pourront avoir que les formes respectives, $5p+\alpha$ et $5q+\beta ,\ \alpha$ et $\beta$ étant l’un et l’autre moindres que $5,$ et l’on aura alors