Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/83

haut, les trajectoires décrites par la lumière, à travers une telle masse, seront des courbes planes dont les plans contiendront à la fois le centre de cette masse et le point rayonnant auquel je supposerai le soleil réduit.

Soit pris le plan de l’une quelconque de ces trajectoires pour celui des coordonnées supposées rectangulaires, et le centre de la comète pour origine. Faisons passer l’axe des $x$ positives par le point rayonnant que nous supposerons à une distance $a$ de l’origine. En représentant par $u$ la densité de la comète, en l’un quelconque $(x,y)$ de ses points, nous aurons

$u=\psi \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,;\qquad$(1)

d’où nous conclurons

$\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\right)=P=x{\frac {\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\ \ \left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\right)=Q=y{\frac {\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,;$ (2)

en conséquence (tom. xix, pag. 282) les équations du mouvement d’une molécule lumineuse, à travers la masse gazeuse, seront

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}x.{\frac {\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}y.{\frac {\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,;$ (3)

équations dans lesquelles, comme on l’a vu à l’endroit cité, $k^{2}$ est un coefficient constant, relatif au mode d’action des milieux sur la lumière, et auxquelles on pourra joindre, comme s’y trouvant implicitement comprise, l’équation (pag. 273)

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=w^{2}+4k^{2}\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right),\qquad$(4)

dans laquelle $w$ exprime la vîtesse de la lumière dans le vide.

Si l’on représente par $\varphi$ la force accélératrice, on aura, comme l’on sait,