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$\varphi ={\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}}}\,;$

d’où on conclura (3), en substituant,

$\varphi =2k^{2}\psi '\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,;\qquad$(5)

ainsi, généralement, la force accélératrice est proportionnelle à la dérivée de la fonction du rayon des couches sphériques concentriques qui exprime la densité optique de ces couches.

Les équations (3) donnent, par division,

$y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}-x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,$

d’où, en intégrant,

$y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y=C\operatorname {d} t\,;\qquad$(6)

équation qui est l’expression du principe des aires, et dans inquelle $C$ est la constante arbilraire. En portant la valeur de $\operatorname {d} t,$ donnée par cette équation, dans l’équation (4), on obtiendra, pour l’équation générale de la trajectoire décrite,

$C^{2}\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)=\left\{w^{2}+4k^{2}\psi \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\right\}(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}.\quad$(7)

Ici, comme dans la théorie du mirage, il nous sera permis, sans rien changer à la nature des trajectoires, ni conséquemment des caustiques, d’augmenter ou de diminuer la densité de la masse gafceuse que nous supposons composer la comète d’une même quantité quelconque en tous ses points, et nous profiterons de cette liberté pour la rendre constamment nulle à la distance a du centre de l’astre à laquelle le point rayonnant se trouve situé, ce qui donnera $\psi (a)=0.$ En supposant donc que le rayon fait, à son point de départ, avec l’axe des $x$, un angle dont la tangente tabulaire est égale à $m$, on devra avoir, en même temps,