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$x=a,\quad y=0,\quad \operatorname {d} y=m\operatorname {d} x,\quad \psi \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\psi (a)=0\,;$

ce qui donnera, en substituant dans (7),

$C^{2}\left(1+m^{2}\right)=m^{2}a^{2}w^{2}\,;\qquad$(8)

tirant de cette équation la valeur de $C^{2},$ pour la substituer dans l’équation (7), celle-ci deviendra

$m^{2}a^{2}w^{2}\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)=\left(1+m^{2}\right)\left\{w^{2}+4k^{2}\psi \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\right\}(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}\,;$

posant enfin, pour abréger, comme dans la théorie du mirage,

$w=2\lambda k,$

on aura, pour l’équation différentielle de la trajectoire décrite par le rayon qui fait, à son point de départ, avec la droite qui joint ce point au centre de l’astre, un angle dont la tangente tabulaire est $m$,

$m^{2}\lambda ^{2}a^{2}\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)=$

$\left(1+m^{2}\right)\left\{\lambda ^{2}+\psi \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\right\}(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}.\quad$(9)

L’intégrale de cette équation, dans chaque hypothèse sur la forme de la fonction $\psi ,$ fera connaître la trajectoire décrite.

Il conviendra pour séparer les variables, et ramener ainsi le problème aux quadratures, de passer aux coordonnées polaires, en posant

$x=r\operatorname {Cos} .\theta ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\theta \,;$

il en résultera successivement

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .\theta -r\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .\theta +r\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .\theta ,$

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r,\quad \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2},\quad (y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}=r^{4}\operatorname {d} \theta ^{2},$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (9),