Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/86

$m^{2}\lambda ^{2}a^{2}\left(\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\right)=\left(1+m^{2}\right)\left\{\lambda ^{2}+\psi (r)\right\}r^{4}\operatorname {d} \theta ^{2},\qquad$(10)

équation d’où on tirera

$\operatorname {d} \theta ={\frac {m\lambda a\operatorname {d} r}{r{\sqrt {\left(1+m^{2}\right)r^{2}\psi (r)+\lambda ^{2}\left[\left(1+m^{2}\right)r^{-}m^{2}a^{2}\right]}}}}\,;\qquad$(11)

équation séparée, dans laquelle on pourra foire, sur la forme de la fonction $\psi ,$ quelle hypothèse on voudra. La constante qu’introduira l’intégration devra d’ailleurs être déterminée de telle sorte qu’à $\theta =0$ réponde $r=a.$

Mais ce qui nous intéresse particulièrement ici, c’est beaucoup moins la figure des trajectoires qui peuvent répondre aux diverses formes de la fonction ; et aux différentes valeurs de $m$, que la figure de la caustique ou courbe enveloppe de ces trajectoires qui, pour une même forme quelconque de cette fonction $\psi ,$ répond aux diverses valeurs de $m$. Or, rien n’est plus facile que d’obtenir l’équation différentielle générale de cette caustique, puisqu’il ne s’agit pour cela que d’éliminer $m$ entre l’équation (10) et sa différentielle prise uniquement par rapport à ce paramètre. Or, par la forme de cette équation, $m$ disparaît de lui-même de sa différentielle ; de sorte que l’équation différentielle générale de la caustique est simplement

$\lambda ^{2}a^{2}\left(\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\right)=\left\{\lambda ^{2}+\psi (r)\right\}r^{4}\operatorname {d} \theta ^{2}.\qquad$(12)

Si l’on connaît l’équation polaire de la caustique on en tirera, par différentiation, la valeur de $\operatorname {d} \theta$ en $r$ et $\operatorname {d} r\,;$ en substituant cette valeur dans l’équation (12), $\operatorname {d} r$ disparaîtra de lui-même ; de sorte que l’équation résultante fera connaître la forme de la fonction $\psi ,$ d’où l’on conclura ensuite, si on le juge convenable, au moyen de l’équation (11), la nature de la trajectoire.

On doit seulement observer, 1.^o que, d’après l’hypothèse que nous avons admise sur la constitution de la comète, on ne peut prendre,