Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/87

pour la caustique, qu’une courbe symétrique, par rapport à l’axe des $x$ ; 2.^o qu’ayant diminué arbitrairement d’une même quantité la densité de la comète, en tous ses points, il faudra, pour avoir la valeur complète de $\psi (r),$ ajouter une constante à la valeur qu’on aura déduite du procédé que nous venons d’indiquer.

Observons encore que la caustique admise ne sera pas proprement la queue de la comète ; mais que, pour l’en déduire, il faudra supposer que l’axe de cette caustique oscille autour du centre de l’astre, de part et d’autre de l’axe des $x$, d’une quantité angulaire égale à l’angle sous lequel serait, vu de ce centre, le demi-diamètre du disque solaire.

Faisons présensement quelques applications ; et, pour prendre un cas un peu général, supposons que la caustique soit une section conique quelconque, ayant son axe dans l’axe des $x$ et son foyer à l’origine ; son équation polaire sera, comme l’on sait

$r={\frac {{\frac {1}{2}}p}{1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta }},$

$p$ étant le paramètre et $\varepsilon$ le rapport de l’excentricité au demi-axe, cela revient à

$2(1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta )r=p,$

d’où, en différentiant,

$(1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta )\operatorname {d} r=\varepsilon r\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta \,;$

ces deux équations donnent

$\operatorname {Sin} .\theta ={\frac {p\operatorname {d} r}{2\varepsilon r^{2}\operatorname {d} \theta }},\qquad \operatorname {Cos} .\theta ={\frac {r(p-2r)\operatorname {d} \theta }{2\varepsilon r^{2}\operatorname {d} \theta }}\,;$

d’où

$\operatorname {Sin} .^{2}\theta +\operatorname {Cos} .^{2}\theta =1={\frac {p^{2}\operatorname {d} r^{2}+r^{2}(p-2r)^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}}{4\varepsilon ^{2}r^{4}\operatorname {d} \theta ^{2}}},$

ce qui revient à

$\operatorname {d} \theta ^{2}={\frac {p^{2}\operatorname {d} r^{2}}{r^{2}\left\{4\varepsilon ^{2}r^{2}-(p-2r)^{2}\right\}}}\,;$

substituant cette valeur dans l’équation (12), elle deviendra, toutes réductions faites,