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Pour second exemple, supposons que la caustique soit une spirale logarithmique donnée par l’équation

$r=ce^{\theta },$

auquel cas la comète paraîtra simplement enveloppée d’une nébulosité. Il viendra, en différentiant,

$\operatorname {d} r=ce^{\theta }\operatorname {d} \theta =r\operatorname {d} \theta \,;$

d’où

$r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}=\operatorname {d} r^{2}\,;$

portant cette valeur dans l’équation (12), elle deviendra

$2\lambda ^{2}a^{2}=\left\{\lambda ^{2}+\psi (r)\right\}b^{2},$

ce qui donne

$\psi (r)=\lambda ^{2}\left({\frac {2a^{2}}{r^{2}}}-1\right)\,;$

mais, à cause de la constante qu’il faudra introduire, on pourra écrire, plus généralement,

$\psi (r)=2\lambda ^{2}\left(n+{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}\right)\,;$

on aura donc encore ici une densité infinie au centre de l’astre et une densité finie à une distance infinie.

On tire de là, par différentiation,

$\psi '(r)=-{\frac {4\lambda ^{2}a^{2}}{r^{3}}}\,;$

ce qui montre qu’ici la force accélératrice sera inverse du cube de la distance ; d’où on peut conclure, par les principes connus, et notamment par ce qui a été observé par M. Ampère, dans un précédent mémoire, que les trajectoires décrites par les rayons lumineux seront elles-mêmes des spirales ; ce qui résout complètement la difficulté qui m’avait été opposée par M. l’astronome Flaugergues.

Je crois inutile de pousser plus loin ces applications, qui n’ont, comme l’on voit, rien de bien difficile, et que pourront étendre indéfiniment ceux qui y mettront quelque intérêt. On voit, en ef-