de sorte que la question se réduit à trouver un point de l’espace, tel que les différences entre le quarré de sa distance au plan et les quarrés de ses distances aux trois autres plans soient égales à trois quantités données.
D’après ce qui a été déjà remarqué (tom. xix, pag. 177), le lieu géométrique des centres de tous les cercles qui interceptent sur les deux côtés d’un angle donné, des longueurs respectivement égales à et est une hyperbole équilatère ayant son centre au sommet de cet angle, ayant pour asymptotes les deux droites perpendiculaires l’une à l’autre, qui divisent cet angle et ses supplémens en deux parties égales, et qui passent pgr les quatre points dont les distances aux deux côtés de l’angle sont respectivement égales à et
Il suit évidemment de là que le lieu géométrique des centres de toutes les sphères qui interceptent, sur les deux faces d’un angle dièdre donné, des cercles dont les rayons sont respectivement égaux à et est un cylindre hyperbolique équilatère, dont les plans asymptotiques sont les deux plans, perpendiculaires l’un à l’autre, qui divisent l’angle proposé et ses supplémens en deux parties égales et qui a pour quatre de ses génératrices les parallèles à l’arête de l’angle dièdre, dont les distances à ses faces sont respectivement égales à et
En conséquence, la solution du problème proposé se réduit à ce qui suit : Soient construites les trois surfaces cylindriques, hyperboliques, équilatères qui répondent aux angles dièdres que fait le plan avec chacun des plans ces surfaces se couperont généralement en huit points, centres d’autant de sphères qui résoudront le problème.
Les centres des sphères cherchées étant ainsi déterminés, rien ne sera plus aisé que d’en trouver les rayons respectifs ; car, pour chacune d’elles, en abaissant de son centre une perpendiculaire sur l’un quelconque des plans donnés, cette perpendiculaire et le rayon du cercle intercepté sur ce plan seront les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypothénuse sera le rayon de la sphère.
