Si les cercles interceptés sur deux des trois plans devaient être égaux au cercle intercepté sur le plan deux des trois surfaces se réduiraient à leurs plans asymptotiques ; de sorte qu’il serait facile de ramener la recherche de leur intersection avec la troisième à celle des intersections d’une sphère avec une droite ; le problème pourrait donc alors être rigoureusement résolu par les élémens.
Si les quatre cercles devaient tous être égaux, les surfaces cylindriques se réduiraient alors toutes trois à leurs plans asymptotiques, et les centres des sphères cherchées seraient les mêmes que ceux des huit sphères tant inscrites qu’ex-inscrites au tétraèdre formé par les quatre plans donnés, ce qui est d’ailleurs évident.
En considérant que l’on peut raisonner sur chacun des trois autres plans comme nous avons raisonné sur le plans on conclura de tout ceci le théorème suivant :
THÉORÈME I. Un tétraèdre étant donné, si l’on en construit un autre dont les faces, respectivement parallèles aux siennes, en soient à des distances en construisant des cylindres hyperboliques équilatères, dont les plans asymptotiques soient ceux qui divisent les angles dièdres du tétraèdre et leurs supplémens en deux parties égales, et tels que chacun d’eux ait, pour une de ses génératrices, l’arête du tétraèdre qui est parallèle à son axe ; ces six cylindres se couperont aux huit mêmes points, centres d’autant de sphères qui intercepteront sur les plans des faces du tétraèdre des cercles dont les rayons seront respectivement égaux aux longueurs
à Modène.
Soient les quatre points donnés dans l’espace, le centre de la sphère cherchée, son rayon, les an-
