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gles générateurs des cônes circonscrits ayant leurs sommets aux quatre points donnés ; on aura évidemment

$r=\mathrm {OA} \operatorname {Sin} .\alpha =\mathrm {OB} \operatorname {Sin} .\beta =\mathrm {OC} \operatorname {Sin} .\gamma =\mathrm {OD} \operatorname {Sin} .\delta \,;$

d’où

${\frac {\mathrm {OA} }{\operatorname {Cosec} .\alpha }}={\frac {\mathrm {OB} }{\operatorname {Cosec} .\beta }}={\frac {\mathrm {OC} }{\operatorname {Cosec} .\gamma }}={\frac {\mathrm {OD} }{\operatorname {Cosec} .\delta }},$

de sorte que la question se réduit à trouver un point $\mathrm {O,}$ dont les distances aux quatre points donnés soient respectivement proportionnelles aux cosécantes des quatre angles donnés.

Or., on sait que, si sur la distance entre les centres de similitude directe et inverse de deux cercles, prise pour diamètre, on décrit un troisième cercle, sa circonférence sera le lieu géométrique de tous les points du plan des deux premiers dont les distances à leurs centres seront respectivement proportionnelles à leurs rayons ; et ce sera aussi le lieu géométrique de tous les points de leur plan d’où on les verra sous des angles égaux ; d’où il résulte évidemment que le lieu géométrique de tous les points de l’espace dont les distances aux centres de deux sphères données sont respectivement proportionnelles à leurs rayons, ou, ce qui revient au même, le lieu géométrique de tous les points de l’espace desquels on peut voir ces deux sphères sous un même angle est une troisième sphère ayant pour diamètre la distance entre les centres de similitude directe et inverse des deux premières.

En conséquence, la solution du problème proposé se réduit à ce qui suit : Des points donnés $\mathrm {A,B,C,D,}$ pris successivement pour centres et avec des rayons arbitraires, mais respectivement proportionnels aux cosécantes des angles donnés $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ soient décrites quatre sphères ; soient décrites ensuite trois autres sphères ayant respectivement pour diamètres les distances entre les centres de similitude directe et inverse des sphères dont les centres sont $\mathrm {D}$ et $\mathrm {A,\ D}$ et $\mathrm {B,\ D}$ et $\mathrm {C\,;}$ ces trois dernières se couperont en deux points, centres d’autant de sphères résolvant le problème proposé.