Les centres de ces deux sphères étant ainsi déterminés, rien ne sera plus facile que d’en assigner les rayons respectifs ; car, pour chacune, en joignant son centre au point par exemple, par une droite et menant par ce même point une autre droite faisant avec celle-là un angle égal à la perpendiculaire abaissée de ce centre sur cette dernière droite sera le rayon cherché.
Si les angles donnés étaient égaux entre eux, les trois sphères qui, par leur intersection, déterminant le centre de la sphère cherchée se réduiraient à des plans perpendiculaires sur les milieux des trois droites ; ce centre serait donc le même que le centre de la sphère passant par les quatre points ce qui est d’ailleurs évident.
En considérant que l’on peut raisonner sur les trois autres points comme nous l’avons fait sur le point on conclura de tout ceci le théorème suivant :
THÉORÈME II. De, sommets d’un tétraèdre donné, pris pour centres, soient décrites quatre sphères, ayant leurs rayons respectivement proportionnels aux cosécantes de quatre angles donnés Si, sur les distances entre les centres de similitude directe et inverse de ces sphères, considérées deux à deux, prises pour diamètres, on décrit successivement six autres sphères, ces dernières se couperont toutes aux deux mêmes points, centre de deux nouvelles sphères telles que les cônes circonscrits qui auront leurs sommets aux quatre sommets du tétraèdre, auront leurs angles générateurs respectivement égaux aux quatre angles donnés
On peut dire aussi plus brièvement :
Le centre de la sphère qui est vue de quatre points de l’espace, sous quatre angles donnés, est le point duquel on verrait, sous lu même angle, quatre autres sphères qui auraient pour centres les points donnés, et dont les rayons seraient respectivement proportionnels aux cosécantes des moitiés des angles donnés.
