et 12, entre 12 et 24, etc. ; et par conséquent les nombres 3, 6, 12, 24, 48, etc., sont en proportion continue. De là, certes, bien que toutes ces choses soient si claires qu’elles paraissent presque puériles, je comprends, en y réfléchissant attentivement, de quelle manière toutes les questions relatives aux proportions ou aux rapports des choses sont enveloppées, et dans quel ordre on doit les chercher ; ce qui constitue toute la science des mathématiques pures.
Car je remarque d’abord qu’il n’a pas été plus difficile de trouver le double de 6 que le double de 3 ; que pareillement dans toutes choses, une fois la proportion trouvée entre deux grandeurs quelconques, on peut présenter mille autres grandeurs qui soient toujours dans le même rapport ; et que la nature de la difficulté ne change pas, cherchât-on 3 ou 4, ou un chiffre plus élevé, parce qu’il faut découvrir ces proportions chacune à part et sans avoir égard aux autres. Je remarque ensuite que, les grandeurs 3 et 6 étant données, j’en trouve il est vrai facilement une troisième en proportion continue, c’est-à-dire 12 ; mais qu’il ne m’est pas aussi facile, deux grandeurs extrêmes étant données, c’est-à-dire 3 et 12, de trouver la moyenne, c’est-à-dire 6. Si j’en examine la raison, je vois clairement qu’il y a ici une difficulté d’une tout autre sorte que la précédente, parce que, pour trouver la moyenne proportionnelle, il faut en même temps penser aux deux extrêmes et à la proportion qui existe entre eux, afin d’en trouver une nouvelle en divisant la première ; opération bien différente de celle qu’il faut faire lorsque, deux grandeurs étant données, on veut en trouver une troisième en proportion continue. Je poursuis encore et j’examine, étant données les grandeurs 3 et 24, si les deux moyennes proportionnelles 6 et 12 sont aussi faciles à trouver l’une que l’autre. Ici se présente une autre sorte de difficulté plus embarrassante que les précédentes ; car il faut penser non-seulement à un nombre ou à deux à la fois, mais à trois, pour en découvrir un quatrième. On peut aller plus loin encore, et voir si, étant donnés seulement 3 et 48, il serait encore plus difficile de trouver l’une de ces trois moyennes proportionnelles 6, 12, 24, ce qui paraît être tel au premier abord ; mais on voit aussitôt que cette difficulté peut se diviser et se simplifier, si l’on ne cherche d’abord qu’une seule moyenne proportionnelle entre 3 et 48, savoir 12 ; si l’on cherche ensuite une autre moyenne proportionnelle entre 3 et 12, savoir, 6 ; et
