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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS

et aucun d’eux n’est inférieur à tous les autres ; si $a$ et $b$ sont rationnels et si ${a<b}$, il y a une infinité de nombres rationnels $c$ tels que ${a<c<b}$.

2. On dit qu’on effectue une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels si l’on partage cet ensemble en deux classes telles que tout nombre de la première est inférieur à tout nombre de la seconde. Il ne peut se présenter alors que l’un des trois cas suivants :

1^o Dans la première classe existe un nombre supérieur à tous les autres. Soit $a$ ce nombre : tout nombre de la première classe est ${\leqslant a}$. Tout nombre de la seconde est ${>a}$, puisque $a$ est de la première.

Un nombre rationnel ${\leqslant a}$ ne peut faire partie de la seconde classe, sans quoi il serait ${>a}$ ; donc il fait partie de la première.

Ainsi, la première classe est l’ensemble des nombres rationnels ${\leqslant a}$ ; par suite, la seconde est l’ensemble des nombres rationnels ${>a}$ : elle ne contient pas de nombre inférieur à tous les autres.

2^o L’hypothèse du cas 1^o n’est pas réalisée, c’est-à-dire qu’il n’y a pas dans la première classe de nombre supérieur à tous les autres ; mais on suppose qu’il existe dans la seconde un nombre $a$ inférieur à tous les autres. On reconnaît que la première classe est l’ensemble des nombres rationnels ${<a}$, la seconde est l’ensemble des nombres rationnels ${\geqslant a}$.

Les cas 1^o et 2^o sont évidemment réalisables.

3^o Aucune des hypothèses 1^o et 2^o n’est réalisée. C’est donc que la première classe ne renferme pas de nombre supérieur à tous les autres, et que la seconde ne renferme pas de nombre inférieur à tous les autres.

3. Montrons qu’on peut réaliser le cas 3^o.

On sait qu’il n’existe aucun nombre rationnel $x$ tel que ${x^{2}=2}$, et que, étant donné un nombre positif rationnel $\varepsilon$, il est possible de trouver deux nombres positifs rationnels $x'$ et $x''$ tels que

$x'^{2}<2<x''^{2}$