et aucun d’eux n’est inférieur à tous les autres ; si et sont rationnels et si , il y a une infinité de nombres rationnels tels que .
2. On dit qu’on effectue une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels si l’on partage cet ensemble en deux classes telles que tout nombre de la première est inférieur à tout nombre de la seconde. Il ne peut se présenter alors que l’un des trois cas suivants :
1o Dans la première classe existe un nombre supérieur à tous les autres. Soit ce nombre : tout nombre de la première classe est . Tout nombre de la seconde est , puisque est de la première.
Un nombre rationnel ne peut faire partie de la seconde classe, sans quoi il serait ; donc il fait partie de la première.
Ainsi, la première classe est l’ensemble des nombres rationnels ; par suite, la seconde est l’ensemble des nombres rationnels : elle ne contient pas de nombre inférieur à tous les autres.
2o L’hypothèse du cas 1o n’est pas réalisée, c’est-à-dire qu’il n’y a pas dans la première classe de nombre supérieur à tous les autres ; mais on suppose qu’il existe dans la seconde un nombre inférieur à tous les autres. On reconnaît que la première classe est l’ensemble des nombres rationnels , la seconde est l’ensemble des nombres rationnels .
Les cas 1o et 2o sont évidemment réalisables.
3o Aucune des hypothèses 1o et 2o n’est réalisée. C’est donc que la première classe ne renferme pas de nombre supérieur à tous les autres, et que la seconde ne renferme pas de nombre inférieur à tous les autres.
3. Montrons qu’on peut réaliser le cas 3o.
On sait qu’il n’existe aucun nombre rationnel tel que , et que, étant donné un nombre positif rationnel , il est possible de trouver deux nombres positifs rationnels et tels que