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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS

avec

$2-x'^{2}<\varepsilon$,$x''^{2}-2<\varepsilon$.

Rangeons dans une première classe $\mathrm {A}$ les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs $x$ pour lesquels ${x^{2}<2}$, dans une seconde classe $\mathrm {B}$ les nombres positifs $x$ pour lesquels ${x^{2}>2}$. On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre rationnel fait partie de l’une des deux classes, et tout nombre de $\mathrm {A}$ est inférieur à tout nombre de $\mathrm {B}$.

Il n’y a pas dans $\mathrm {A}$ de nombre supérieur à tous les autres, c’est-à-dire que si $x$ appartient à $\mathrm {A}$, on peut trouver dans $\mathrm {A}$ un nombre ${x'>x}$. Il suffit évidemment d’examiner le cas où $x$ est positif. On a ${x^{2}<2}$ ; prenons $\varepsilon$ rationnel et positif tel que ${\varepsilon <2-x^{2}}$ ; on peut trouver ${x'>0}$ tel que ${x'^{2}<2}$ avec ${2-x'^{2}<\varepsilon }$. On aura ${2-x'^{2}<\varepsilon <2-x^{2}}$, d’où ${x'^{2}>x^{2}}$, ${x'>x}$, et $x'$ appartient à $\mathrm {A}$.

De même, il n’y a pas dans $\mathrm {B}$ de nombre inférieur à tous les autres, car si $x$ appartient à $\mathrm {B}$, on a ${x^{2}>2}$ ; soit $\varepsilon$ rationnel tel que ${0<\varepsilon <x^{2}-2}$ ; on peut trouver $x'$ tel que ${x'^{2}>2}$ avec ${x'^{2}-2<\varepsilon }$, d’où ${x'^{2}-2<x^{2}-2}$, d’où ${x'<x}$, et $x'$ appartient à $\mathrm {B}$.

On peut réaliser le cas 3^o de telle sorte que, $a$ et $b$ étant deux nombres rationnels donnés (${a<b}$), $a$ fasse partie de la première classe et $b$ de la seconde. Remarquons que, dans l’exemple précédent, $0$ fait partie de $\mathrm {A}$, $2$ fait partie de $\mathrm {B}$. Cela posé, rangeons dans une classe $\mathrm {A'}$ les nombres rationnels $x$ tels que ${\frac {2(x-a)}{b-a}}$ fait partie de $\mathrm {A}$, dans une classe $\mathrm {B'}$ les nombres rationnels $x$ tels que ${\frac {2(x-a)}{b-a}}$ fait partie de $\mathrm {B}$. Comme il y a équivalence entre les conditions

$x<x'$et${\frac {2(x-a)}{b-a}}<{\frac {2(x'-a)}{b-a}}$,

on voit que tout nombre de $\mathrm {A} '$ est inférieur à tout nombre de $\mathrm {B'}$, qu’il n’y a pas dans $\mathrm {A'}$ de nombre supérieur à tous les autres, ni dans $\mathrm {B'}$ de nombre inférieur à tous les autres ; de plus, $\mathrm {A'}$ contient $a$, $\mathrm {B'}$ contient $b$.