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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS
avec
![{\displaystyle 2-x'^{2}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c0e174824702f003a1185d8009725eed46e19c)
,
![{\displaystyle x''^{2}-2<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342031c552a14413e54d3d2ee6077599fd1d7758)
.
Rangeons dans une première classe
les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs
pour lesquels
, dans une seconde classe
les nombres positifs
pour lesquels
. On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre rationnel fait partie de l’une des deux classes, et tout nombre de
est inférieur à tout nombre de
.
Il n’y a pas dans
de nombre supérieur à tous les autres, c’est-à-dire que si
appartient à
, on peut trouver dans
un nombre
. Il suffit évidemment d’examiner le cas où
est positif. On a
; prenons
rationnel et positif tel que
; on peut trouver
tel que
avec
. On aura
, d’où
,
, et
appartient à
.
De même, il n’y a pas dans
de nombre inférieur à tous les autres, car si
appartient à
, on a
; soit
rationnel tel que
; on peut trouver
tel que
avec
, d’où
, d’où
, et
appartient à
.
On peut réaliser le cas 3o de telle sorte que,
et
étant deux nombres rationnels donnés (
),
fasse partie de la première classe et
de la seconde. Remarquons que, dans l’exemple précédent,
fait partie de
,
fait partie de
. Cela posé, rangeons dans une classe
les nombres rationnels
tels que
fait partie de
, dans une classe
les nombres rationnels
tels que
fait partie de
. Comme il y a équivalence entre les conditions
et
![{\displaystyle {\frac {2(x-a)}{b-a}}<{\frac {2(x'-a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a140dd600a34fc7604b552ad433197fcb789084)
,
on voit que tout nombre de
est inférieur à tout nombre de
, qu’il n’y a pas dans
de nombre supérieur à tous les autres, ni dans
de nombre inférieur à tous les autres ; de plus,
contient
,
contient
.