Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/12

12

DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS

4. Quand une coupure remplit les conditions du cas 3^o , on convient de dire qu’elle définit un nombre irrationnel $\lambda$, qui est, par définition, supérieur à tous les nombres de la première classe, inférieur à tous les nombres de la seconde.

Nous dirons que l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels ou, simplement, des nombres.

En résumé, une coupure étant effectuée dans l’ensemble des nombres rationnels, il y a un nombre réel auquel tout nombre de la première classe est inférieur ou égal, et auquel tout nombre de la seconde classe est supérieur ou égal. Nous dirons que ce nombre est défini par la coupure considérée.

5. D’après la définition du nombre irrationnel $\lambda$, on reconnaît que, si $a$ et $b$ désignent deux nombres rationnels :

Les conditions ${a<\lambda }$, ${\lambda <b}$ entraînent ${a<b}$ ;

Les conditions ${a<b}$, ${b<\lambda }$ entraînent ${a<\lambda }$ ;

Les conditions ${\lambda <a}$, ${a<b}$ entraînent ${\lambda <b}$.

Si ${a<\lambda }$, il y a des nombres rationnels $c$ (en nombre infini) tels que ${a<c<\lambda }$.

Si ${a>\lambda }$, il y a des nombres rationnels $c$ (en nombre infini) tels que ${\lambda <c<a}$.

6. Soient deux nombres irrationnels $\lambda$ et $\lambda '$ ; soient $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ les première et seconde classes correspondant à $\lambda$, $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B'}$ les première et seconde classes correspondant à $\lambda '$. Il y a trois cas possibles :

1^o  $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A'}$ sont identiques ; il en résulte que $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B'}$ sont aussi identiques. Les nombres $\lambda$ et $\lambda '$ sont définis par la même coupure ; nous dirons qu’ils sont égaux : ${\lambda '=\lambda }$.

2^o  Il y a dans $\mathrm {A} '$ un nombre $a$ qui n’est pas contenu dans $\mathrm {A}$. Ce nombre appartient à $\mathrm {B}$ et n’appartient pas à $\mathrm {B'}$. Tout nombre de $\mathrm {A}$ est inférieur à $a$, qui appartient à $\mathrm {B}$, et comme $a$, appartenant à $\mathrm {A'}$, est inférieur à tout nombre de $\mathrm {B'}$, il en résulte que tout nombre de $\mathrm {A}$ est inférieur à tout nombre de $\mathrm {B'}$. Par suite, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B'}$ n’ont aucun élément commun ; tous les nombres de $\mathrm {A}$