13
DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS
font partie de
, tous les nombres de
font partie de
. Un nombre rationnel
ne peut se comporter, par rapport à
et
, que de trois manières :
I.
fait partie de
, par suite de
; on a
![{\displaystyle x<\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1291d57c0ed6cfe42e4faf3b6327a7b605ef33)
,
![{\displaystyle x<\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16d8677ff70c724867deda6ec68de2c9302ac04)
.
II.
fait partie de
et de
; on a
![{\displaystyle x>\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54916530812b2f0912e7e9f7e50ee4453707e029)
,
![{\displaystyle x<\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16d8677ff70c724867deda6ec68de2c9302ac04)
.
Cette catégorie comprend au moins le nombre
; elle comprend une infinité de nombres, car il y a, dans
, dont fait partie
, un nombre
, soit
; tous les nombres rationnels compris entre
et
font partie de cette catégorie.
III.
fait partie de
, par suite de
; on a
![{\displaystyle x>\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54916530812b2f0912e7e9f7e50ee4453707e029)
,
![{\displaystyle x>\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f4802c67aa93d244a2d8792891d2728f07a195)
.
Par définition, nous dirons qu’on a
![{\displaystyle \lambda <\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2adc7ad4dd523727a494ccab3400cc16df09968)
.
3o Il y a dans
un nombre qui n’est pas contenu dans
. Ce cas ne diffère du précédent que parce que les rôles des nombres
et
sont permutés ; nous dirons qu’on a
![{\displaystyle \lambda '<\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572efa74d3d7b57f38a047c2b0f04bc9081444c4)
.
De cette étude et des définitions données, il résulte que, si
et
sont deux nombres irrationnels :
Pour que
, il faut et il suffit que tout nombre rationnel inférieur à l’un de ces nombres soit inférieur à l’autre ;
Pour que
, il faut et il suffit qu’il existe un nombre rationnel
tel que
![{\displaystyle \lambda <a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b379864a478c59349975b5296c644d9351cfc1a)
,
![{\displaystyle a<\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf651ec17dca792557709dbcba58b6a909290a8c)
.
7. L’ensemble des nombres réels est ordonné, c’est-à-dire que, si
, sont trois nombres réels tels que
![{\displaystyle \lambda <\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bff0fc0ed1d8b291f5584a5532155aa923b0c1)
,
![{\displaystyle \mu <\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921b0cc75dcececafea6ecb853168df63e693e5a)
,
on a
![{\displaystyle \lambda <\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75109754e0e98ee84b189203c6982fc7e834409f)
.
Ces faits se trouvent établis : 1o dans le cas où les trois nombres sont rationnels (§ 1) ; 2o dans le cas où un seul des trois nombres est irrationnel (§ 5) ; 3o dans le cas où le nombre intermédiaire est rationnel, les autres étant tous deux irrationnels (§ 6) ou non (§ 5). Dans le cas général, prenons deux