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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS
nombres rationnels
, tels que
![{\displaystyle \lambda <a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b379864a478c59349975b5296c644d9351cfc1a)
,
![{\displaystyle a<\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c570bfcfda26f65d8c4622e7d7f1a4b85ac30c)
,
![{\displaystyle \mu <b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463bb96c553d51be9557f92516cc15f56aea4dff)
,
![{\displaystyle b<\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef575f7a32c35511289522a891278e17e258cf29)
.
De
,
, on déduit
.
De
,
, on déduit
.
De
,
, on déduit
.
Entre deux nombres réels différents existent des nombres rationnels ; cela est vrai quand les deux nombres sont rationnels (§ 1), quand l’un des deux est rationnel et l’autre irrationnel (§ 5), et enfin quand ils sont tous deux irrationnels (§ 6). Entre deux nombres réels différents existent aussi des nombres irrationnels : on prend d’abord, entre les deux nombres donnés, deux nombres rationnels
et
; le second exemple du § 3 montre qu’il y a entre
et
un nombre irrationnel.
8. Les nombres irrationnels supérieurs à 0 sont dits positifs, ceux qui sont inférieurs à 0 sont dits négatifs. Soit
un nombre irrationnel positif ; soient
et
les première et deuxième classes correspondantes. Appelons
l’ensemble des nombres opposés[1] à ceux de
,
l’ensemble des nombres opposés à ceux de
: on a ainsi une coupure, la première classe
n’a pas d’élément supérieur à tous les autres,
n’a pas d’élément inférieur à tous les autres ; il y a donc un nombre irrationnel
supérieur aux nombres de
, inférieur aux nombres de
. Comme 0 est contenu dans
et par suite dans
,
est négatif. Nous dirons que
est le nombre opposé à
. On écrira
![{\displaystyle \lambda '=-\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576cbdd9c366e09438dbeed308af15f4afadf9e3)
,
![{\displaystyle \lambda =-\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af695fadb782f95ab4923cd9ae3322c092f91b4)
;
on dira, comme pour le cas des nombres rationnels, que
et
ont pour valeur absolue commune
:
![{\displaystyle |\lambda |=|\lambda '|=\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f72597b01deef2fb34e51fbf99d803008361989)
.
Il est évident que
entraîne
, que
entraîne
, quels que soient
et
.
- ↑ On emploie aussi l’expression « symétriques », ou encore « égaux et de signes contraires ».