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DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS

nombres rationnels $a,b$, tels que

$\lambda <a$,$a<\mu$,$\mu <b$,$b<\nu$.

De ${a<\mu }$, ${\mu <b}$, on déduit ${a<b}$.

De ${a<b}$, ${\,b<\nu }$, on déduit ${a<\nu }$.

De ${\lambda <a}$, ${a<\nu }$, on déduit ${\lambda <\nu }$.

Entre deux nombres réels différents existent des nombres rationnels ; cela est vrai quand les deux nombres sont rationnels (§ 1), quand l’un des deux est rationnel et l’autre irrationnel (§ 5), et enfin quand ils sont tous deux irrationnels (§ 6). Entre deux nombres réels différents existent aussi des nombres irrationnels : on prend d’abord, entre les deux nombres donnés, deux nombres rationnels $a$ et $b$ ; le second exemple du § 3 montre qu’il y a entre $a$ et $b$ un nombre irrationnel.

8. Les nombres irrationnels supérieurs à 0 sont dits positifs, ceux qui sont inférieurs à 0 sont dits négatifs. Soit $\lambda$ un nombre irrationnel positif ; soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les première et deuxième classes correspondantes. Appelons $\mathrm {A'}$ l’ensemble des nombres opposés^[1] à ceux de $\mathrm {B}$, $\mathrm {B'}$ l’ensemble des nombres opposés à ceux de $\mathrm {A}$ : on a ainsi une coupure, la première classe $\mathrm {A'}$ n’a pas d’élément supérieur à tous les autres, $\mathrm {B'}$ n’a pas d’élément inférieur à tous les autres ; il y a donc un nombre irrationnel $\lambda '$ supérieur aux nombres de $\mathrm {A'}$, inférieur aux nombres de $\mathrm {B'}$. Comme 0 est contenu dans $\mathrm {A}$ et par suite dans $\mathrm {B'}$, $\lambda '$ est négatif. Nous dirons que $\lambda '$ est le nombre opposé à $\lambda$. On écrira

$\lambda '=-\lambda$,$\lambda =-\lambda '$ ;

on dira, comme pour le cas des nombres rationnels, que $\lambda$ et $\lambda '$ ont pour valeur absolue commune $\lambda$ :

$|\lambda |=|\lambda '|=\lambda$.

Il est évident que ${\lambda =\mu }$ entraîne ${-\lambda =-\mu }$, que ${\lambda <\mu }$ entraîne ${-\mu <-\lambda }$, quels que soient $\lambda$ et $\mu$.

1. On emploie aussi l’expression « symétriques », ou encore « égaux et de signes contraires ».