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LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (sens étendu) est qu’on ait ${\mathrm {M} =m}$, et cette valeur est alors la limite.

On reconnaît ainsi que la limite, si elle existe, est unique.

La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que les nombres $\mathrm {M}$ et $m$ soient égaux à un même nombre fini.

16. Si la suite $u_{1},$ $u_{2},$ $\ldots ,$ $u_{n},$ $\ldots$ a pour limite $\lambda$, la suite $-u_{1},$ $-u_{2},$ $\ldots ,$ $-u_{n},$ $\ldots$ a pour limite $(-\lambda )$. Car, soient $\alpha$ et $\beta$ tels que ${\alpha <-\lambda <\beta }$ ; on a (§ 8) ${-\beta <\lambda <-\alpha }$ ; donc, quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, on a ${-\beta <u_{n}<-\alpha }$, d’où résulte ${\alpha <-u_{n}<\beta }$ ; cela exprime que $(-u_{n})$ tend vers $(-\lambda )$.

Dans les mêmes conditions, la suite $|u_{1}|,$ $|u_{2}|,$ $\ldots ,$ $|u_{n}|,$ $\ldots$ a pour limite $|\lambda |$. En effet :

1^o  Si ${\lambda =0}$, soit ${\varepsilon >0}$ ; quand $n$ surpasse un certain entier $p$, on a ${-\varepsilon <u_{n}<\varepsilon }$, d’où ${0\leqslant |u_{n}|<\varepsilon }$.

2^o  Si ${\lambda >0}$, quand $n$ surpasse un certain entier $p$, on a ${u_{n}>0}$, et par suite le nombre ${|u_{n}|=u_{n}}$ tend vers ${\lambda =|\lambda |}$.

3^o  Si ${\lambda <0}$, quand $n$ surpasse un certain entier $p$, on a ${u_{n}<0}$, et par suite le nombre ${|u_{n}|=-u_{n}}$ tend vers ${(-\lambda )=|\lambda |}$.