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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE
étant entier et
, on reconnaît que dans la suite qui remplace (1), soit
![{\displaystyle \ldots ,\quad -2\alpha ',\quad -\alpha ',\quad 0,\quad \alpha ',\quad 2\alpha ',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eae26d89c708b7786642367662bf456657f68b1)
figurent les termes de (1), en particulier
et
, de sorte que la valeur approchée par défaut à
près de
,
, est au moins égale à
; de même,
est au plus égal à
.
Prenons une suite de nombres rationnels positifs
tels que les quotients
soient des entiers supérieurs à
:
On peut prendre par exemple
. Dans ces conditions,
tend vers 0 quand
croît indéfiniment, car
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\alpha _{1}}{k_{1}k_{2}\ldots k_{n-1}}}<{\frac {\alpha _{1}}{2^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2892cb832e40b38c409a009107124e4ea706e3a2)
finit par être inférieur à tout nombre positif donné.
En désignant par
et
les valeurs approchées de
à
près, par défaut et par excès, on a
(1)
|
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(2)
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(3)
|
,
|
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(4)
|
.
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|
Si on désigne par
la borne supérieure des
, par
la borne inférieure des
, on déduit de (3) :
(5)
|
.
|
|
Je dis qu’on ne peut avoir
, car alors soient deux