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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE
nombres rationnels
,
, tels que
![{\displaystyle \mu <a<b<\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63438b29ee138b6379a7f8bfb6d3460e2a8aaa32)
;
prenons
assez grand pour que
![{\displaystyle \alpha _{n}<b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778badc14a4b4c6236b52fe937ca5274d6a64284)
.
On a
![{\displaystyle u_{n}<a<b<v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2740dea7cf124b252f50a0ff884db5ac1251b0e)
,
d’où
![{\displaystyle v_{n}-u_{n}>b-a>\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f17a8ad1dc1fd7e1e325a641a8e1e2e302fdf06)
,
ce qui contredit (4).
Ainsi on a
![{\displaystyle \mu =\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dced4efc5196747fa37af1cc0aad13d5ae5b6f2e)
,
d’où
![{\displaystyle \lambda =\mu =\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e09cd249bc6ae5908fb9cdaaf2dc12781516049)
.
Ainsi
est la borne supérieure des nombres
, et la borne inférieure des nombres
; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :
Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.
Si
est irrationnel, aucun nombre
n’est égal à
.
19. Si
est un nombre, et si
est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels
et
tels que
![{\displaystyle a<\lambda <b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b29877df0bf113d07f001f9c8deeb06cd4ddc05)
,
![{\displaystyle b-a<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70985faced52e5db1360ab1a33f90a9dfebee209)
.
En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel
.
Si
est rationnel, on prendra
,
.
Si
est irrationnel, on prendra pour
et
les valeurs approchées de
à
près, par défaut et par excès.