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VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

nombres rationnels $a$, $b$, tels que

$\mu <a<b<\nu$ ;

prenons $n$ assez grand pour que

$\alpha _{n}<b-a$.

On a

$u_{n}<a<b<v_{n}$,

d’où

$v_{n}-u_{n}>b-a>\alpha _{n}$,

ce qui contredit (4).

Ainsi on a

$\mu =\nu$,

d’où

$\lambda =\mu =\nu$.

Ainsi $\lambda$ est la borne supérieure des nombres $u_{n}$, et la borne inférieure des nombres $v_{n}$ ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :

Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.

Si $\lambda$ est irrationnel, aucun nombre $u_{n}$ n’est égal à $\lambda$.

19. Si $\lambda$ est un nombre, et si $\varepsilon$ est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels $a$ et $b$ tels que

$a<\lambda <b$,$b-a<\varepsilon$.

En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel ${\eta <\varepsilon }$.

Si $\lambda$ est rationnel, on prendra ${a=\lambda -{\frac {\eta }{2}}}$, ${b=\lambda +{\frac {\eta }{2}}}$.

Si $\lambda$ est irrationnel, on prendra pour $a$ et $b$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\eta$ près, par défaut et par excès.