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DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES
V
DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES
20. Soient deux nombres différents
et
; soit
. Considérons tous les couples de nombres rationnels
vérifiant les conditions
(1)
|
,
|
|
et formons les différences
; ce sont des nombres positifs dont l’ensemble
est borné ; car il y a des nombres rationnels
, tels que
,
, et toutes les différences
sont inférieures à
. L’ensemble
a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif
.
Dans le cas où
et
sont rationnels, parmi les couples
vérifiant (1) se trouve le couple
,
, et la différence correspondante
est supérieure à toutes les autres différences de
. On a donc dans ce cas
(2)
|
, .
|
|
Dans le cas où
et
ne sont pas tous deux rationnels, nous conviendrons de définir leur différence par les équations (2).
Si
, nous posons
![{\displaystyle x-y=y-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f997340193235e7be8f1b38acb85855d42bf1861)
.
Ainsi, étant donnés deux nombres quelconques, la différence de ces deux nombres est parfaitement définie.
21. Les conditions
![{\displaystyle x'\leqslant x\leqslant y\leqslant y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3536086b4f7f32b302098922ff5710a95a8fc29)
entraînent
![{\displaystyle y-x\leqslant y'-x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09555f40667ac224b88b6ac8d822b92d8dbd2607)
,
car tous les nombres qui figurent dans l’ensemble
relatif à
et
figurent aussi dans l’ensemble analogue
relatif à
et
.
Si l’on sait que deux nombres
et
sont compris entre deux nombres
et
, on a certainement
![{\displaystyle |y-x|\leqslant |y'-x'|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73afa7e1a94ee3302e7fa2a7c2c9f3af99f86500)
.