26
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
VI
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
22. Soit une suite de nombres
(1)
|
|
|
D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :
1o Il y a une limite finie . Alors . Soit . Nous pouvons, d’après le § 19, prendre et rationnels tels que
et
.
Il y a un entier tel que, pour , on a
.
Si et sont deux entiers supérieurs à , on a donc (§ 21)
.
2o Il y a une limite infinie ; et sont égaux, soit à , soit à ; soit, par exemple,
.
Quel que soit l’entier , et quel que soit le nombre , il y a tel que .
Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif , prenons un terme quelconque de la suite (1), soit . Prenons un nombre rationnel ; est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver tel que . Des conditions
,
on déduit (§ 21)
.
On remarquera que est arbitraire et que et peuvent être choisis supérieurs à tout entier .