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THÉORÈMES SUR LES LIMITES

VI

THÉORÈMES SUR LES LIMITES

22. Soit une suite de nombres

(1)

$u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots .$

D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :

1^o Il y a une limite finie $\lambda$. Alors ${\mathrm {M} =m=\lambda }$. Soit ${\varepsilon >0}$. Nous pouvons, d’après le § 19, prendre $\alpha$ et $\beta$ rationnels tels que

$\alpha <\lambda <\beta$et$\beta -\alpha <\varepsilon$.

Il y a un entier $p$ tel que, pour ${n>p}$, on a

$\alpha <u_{n}<\beta$.

Si $\mu$ et $\nu$ sont deux entiers supérieurs à $p$, on a donc (§ 21)

$|u_{\mu }-u_{\nu }|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon$.

2^o Il y a une limite infinie ; $\mathrm {M}$ et $m$ sont égaux, soit à $+\infty$, soit à $-\infty$ ; soit, par exemple,

$\mathrm {M} =m=+\infty$.

Quel que soit l’entier $p$, et quel que soit le nombre $\mathrm {A}$, il y a ${n>p}$ tel que ${u_{n}>\mathrm {A} }$.

Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif $\mathrm {A}$, prenons un terme quelconque de la suite (1), soit $u_{\mu }$. Prenons un nombre rationnel ${\mathrm {B} >u_{\mu }}$ ; $\mathrm {B+A}$ est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver ${\nu >\mu }$ tel que ${u_{\nu }>\mathrm {B+A} }$. Des conditions

$u_{\mu }<\mathrm {B} <\mathrm {B+A} <u_{\nu }$,

on déduit (§ 21)

$|u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \mathrm {(B+A)-A} =\mathrm {A}$.

On remarquera que $\mathrm {A}$ est arbitraire et que $\mu$ et $\nu$ peuvent être choisis supérieurs à tout entier $p$.