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THÉORÈMES SUR LES LIMITES
Soit un nombre positif, prenons et tels que
et
.
Quand surpasse un certain entier , on a
et
.
d’où
;
étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que a pour limite 0.
2o Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si ne tend pas vers . Dans cette hypothèse, des deux nombres et relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à ; l’une au moins des deux hypothèses , est vérifiée, sans quoi on aurait , et comme , on aurait .
Soit, par exemple, . Soient deux nombres tels que
.
Quand dépasse une certaine valeur, on a
,
et, quel que soit , pour une certaine valeur de , on a
.
De
résulte
.
Il est donc impossible que ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de , ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres sont tous égaux à un même nombre , auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite , on arrive à la conclusion suivante :