28
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
Soit
un nombre positif, prenons
et
tels que
et
![{\displaystyle \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc027d4e3157e2d401ba0c0afc3ed1b38711e0b)
.
Quand
surpasse un certain entier
, on a
et
![{\displaystyle \alpha <v_{n}<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2ad2d2888c00ce1e14fec2a6e6adf93acd4c1b)
.
d’où
![{\displaystyle |u_{n}-v_{n}|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f512f03d3b58084b7ae0d0f2375fe279b32ebc)
;
étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que
a pour limite 0.
2o Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si
ne tend pas vers
. Dans cette hypothèse, des deux nombres
et
relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à
; l’une au moins des deux hypothèses
,
est vérifiée, sans quoi on aurait
, et comme
, on aurait
.
Soit, par exemple,
. Soient
deux nombres tels que
![{\displaystyle \lambda <\alpha <\beta <\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca523f0fa32f24d76d2c1d0735cf7518b9312e91)
.
Quand
dépasse une certaine valeur, on a
![{\displaystyle u_{n}<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c63ee0c6866674ddaf54d24f2488034987010f)
,
et, quel que soit
, pour une certaine valeur de
, on a
![{\displaystyle v_{n}>\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d989509eb69d81058e3b70ab2778453b327a5247)
.
De
![{\displaystyle u_{n}<\alpha <\beta <v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6356c691a23e1a1369d1bc26f5ad0a7df1fe100)
résulte
![{\displaystyle |u_{n}-v_{n}|\geqslant \beta -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aae51c94e108511d973f30e1701e34556a4fdb)
.
Il est donc impossible que
ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de
, ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres
sont tous égaux à un même nombre
, auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite
, on arrive à la conclusion suivante :