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NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ
28. Si a et b sont deux nombres tels que
, on appelle :
1o intervalle
, l’ensemble des nombres
tels que
![{\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d0d70dac2973f66b13017d3149caed10e73057)
;
2o intervalle
, l’ensemble des nombres
tels que
![{\displaystyle -\infty <x\leqslant a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0539b80c1521ba6161ec14db6b95782cd5974b0)
;
3o intervalle
, l’ensemble des nombres
tels que
![{\displaystyle a\leqslant x<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f661780eff6d5fb1f82665fee6f6114cac0bd7)
;
4o intervalle
, l’ensemble de tous les nombres réels.
Le premier de ces intervalles est dit borné ; les autres ne le sont pas. Un nombre
est intérieur à un intervalle s’il y a des nombres
, appartenant à l’intervalle et tels que
. Dans chacun des quatre cas considérés, tout nombre
appartenant à l’intervalle défini est intérieur à cet intervalle, sauf
et
dans le cas 1o,
dans les cas 2o et 3o. Si une suite de nombres
tend vers un nombre
intérieur à un intervalle donné,
est, pour les valeurs de
qui surpassent un certain entier, intérieur à cet intervalle.
Étant données deux ou plusieurs variables
et des intervalles de variation correspondant à ces variables, on appelle champ l’ensemble des systèmes de valeurs
attribuées aux variables
et telles que chacune de ces valeurs appartient à l’intervalle de variation correspondant. Le champ est borné si tous ces intervalles sont bornés ; il est alors défini par des conditions de la forme
![{\displaystyle a\leqslant x\leqslant a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aae5c5820211414306eefa1c7832e513844054)
,
![{\displaystyle b\leqslant y\leqslant b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3101d62cbd0fe02f7aea2bb57b60447c35492f76)
,
![{\displaystyle \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dbfc5796975effdfc4a5e30c7b0ce9e80e0d5f)
désignant des nombres finis. Il y a aussi des champs non bornés, tels que
![{\displaystyle a\leqslant x<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc95ef0584988ebf1530a0f47644ed8766910dd)
,
![{\displaystyle b\leqslant y\leqslant b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3101d62cbd0fe02f7aea2bb57b60447c35492f76)
.
L’ensemble de tous les systèmes de valeurs attribuées aux variables
est le champ
![{\displaystyle -\infty <x<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1b15a77c8468b935711e435c81685ac7597c91)
,
![{\displaystyle -\infty <y<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6e29adca6d6a3b554ceacfa41611d8bfe82835)
,
![{\displaystyle \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dbfc5796975effdfc4a5e30c7b0ce9e80e0d5f)
Pour abréger, nous dirons qu’un système de valeurs attribuées aux variables
est un point ; le point est rationnel si toutes ces valeurs sont rationnelles.