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NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ

28. Si a et b sont deux nombres tels que ${a<b}$, on appelle :

1^o intervalle ${(a,b)}$, l’ensemble des nombres $x$ tels que

$a\leqslant x\leqslant b$ ;

2^o intervalle ${(-\infty ,a)}$, l’ensemble des nombres $x$ tels que

$-\infty <x\leqslant a$ ;

3^o intervalle ${(a,+\infty )}$, l’ensemble des nombres $x$ tels que

$a\leqslant x<\infty$ ;

4^o intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$, l’ensemble de tous les nombres réels.

Le premier de ces intervalles est dit borné ; les autres ne le sont pas. Un nombre $x$ est intérieur à un intervalle s’il y a des nombres $x',x''$, appartenant à l’intervalle et tels que ${x'<x<x''}$. Dans chacun des quatre cas considérés, tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle défini est intérieur à cet intervalle, sauf $a$ et $b$ dans le cas 1^o, $a$ dans les cas 2^o et 3^o. Si une suite de nombres $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n},\ldots$ tend vers un nombre $x_{0}$ intérieur à un intervalle donné, $x_{n}$ est, pour les valeurs de $n$ qui surpassent un certain entier, intérieur à cet intervalle.

Étant données deux ou plusieurs variables ${x,y,\ldots }$ et des intervalles de variation correspondant à ces variables, on appelle champ l’ensemble des systèmes de valeurs ${x_{0},y_{0},\ldots }$ attribuées aux variables ${x,y,\ldots }$ et telles que chacune de ces valeurs appartient à l’intervalle de variation correspondant. Le champ est borné si tous ces intervalles sont bornés ; il est alors défini par des conditions de la forme

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,$\ldots ,$

$a,a',b,b',\ldots$ désignant des nombres finis. Il y a aussi des champs non bornés, tels que

$a\leqslant x<+\infty$,$b\leqslant y\leqslant b'$.

L’ensemble de tous les systèmes de valeurs attribuées aux variables ${x,y,\ldots }$ est le champ

$-\infty <x<+\infty$,$-\infty <y<+\infty$,$\ldots ,$

Pour abréger, nous dirons qu’un système de valeurs attribuées aux variables ${x,y,\ldots }$ est un point ; le point est rationnel si toutes ces valeurs sont rationnelles.