VII
NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ
27. Une lettre qui sert à désigner un nombre pouvant recevoir des valeurs distinctes, est dite une variable. Si, à chacune de ces valeurs, correspond, suivant une loi qu’on indique, un autre nombre, on convient de considérer ces derniers nombres comme les différents états de grandeur d’une même variable, qui est dite fonction de la première ; celle-ci prend le nom de variable indépendante ou encore d’argument de la fonction. C’est ainsi que, dans les suites (1) (Sections III et VI), le nombre est une fonction de définie pour toutes les valeurs entières positives de . Citons, comme exemples de fonctions définies pour toutes les valeurs réelles de la variable : la partie entière de (valeur approchée de à une unité près, par défaut) ; le nombre ; la valeur absolue de : ; le nombre lui-même.
De même, si on considère un système de deux ou plusieurs variables, et si, à chaque système de valeurs attribuées à ces variables, correspond un nouveau nombre, on regarde ces derniers nombres comme les états de grandeur d’une fonction des premières variables : celles-ci sont alors les variables indépendantes. Par exemple, on apprend, en arithmétique et en algèbre élémentaire, à faire correspondre à un système de deux nombres rationnels et des nombres qu’on désigne par , , , . Chacun de ces nombres est une fonction des variables et ; les trois premières sont définies pour tous les systèmes de valeurs rationnelles des variables ; la dernière est définie pour tous ces systèmes, sauf ceux pour lesquels . Autre exemple : le nombre , défini dans la Section V, est une fonction des variables et définie pour tous les systèmes de valeurs réelles attribuées à ces variables.
