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NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ

Un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est dit intérieur à un champ si chacun des nombres ${x_{0},y_{0},\ldots }$ est intérieur à l’intervalle correspondant.

On dit que la suite de points ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$, ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$, $\ldots$, ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$, $\ldots$ a pour limite le point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ (ou tend vers ce point) si l’on a ${\lim {x_{n}}=x_{0}}$, ${\lim {y_{n}}=y_{0}}$, $\ldots$

29. Supposons qu’une fonction ${f(x,y,\ldots )}$ d’une, de deux ou de plusieurs variables soit définie en tous les points d’un certain champ $\mathrm {C}$ (le champ se réduisant, dans le cas d’une seule variable, à un intervalle) : on dit que ${f(x,y,\ldots )}$ est définie dans le champ $\mathrm {C}$.

On dit que ${f(x,y,\ldots )}$ est continue au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ du champ $\mathrm {C}$ si, pour toute suite de points de $\mathrm {C}$ : ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$, ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$, $\ldots$, ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$, $\ldots$ tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, on a

$\lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=f(x_{0},y_{0},\ldots )$.

Si cette condition est remplie pour tous les points ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ de $\mathrm {C}$, on dit que $f$ est continue dans $\mathrm {C}$.

30. Les fonctions de la variable $x$ suivantes : $(-x)$, $|x|$, qui sont définies dans le champ ${-\infty <x<+\infty }$, sont continues dans ce champ, car, d’après le § 16, la condition

$\lim {x_{n}}=x_{0}$

entraîne

$\lim {(-x_{n})}=-x_{0}$,$\lim {|x_{n}|}=|x_{0}|$.

Au contraire, la partie entière de $x$ n’est pas continue car, en prenant par exemple ${x_{n}=1-{\frac {1}{n}}}$ ($n=$ 1, 2, 3, …) et ${x_{0}=1}$, on a ${\lim {x_{n}}=x_{0}}$, mais la partie entière de $x_{n}$, qui est $0$, quel que soit $n$, ne tend pas vers la partie entière de $x_{0}$ qui est $1$.

La fonction ${x-y}$ des deux variables $x$ et $y$ est continue dans le champ ${-\infty <x<+\infty }$, ${-\infty <y<+\infty }$, car, d’après le Théorème IV, § 26, les conditions ${\lim {x_{n}}=x_{0}}$, ${\lim {y_{n}}=y_{0}}$ entraînent ${\lim {x_{n}-y_{n}}=x_{0}-y_{0}}$.