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NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ
Un point est dit intérieur à un champ si chacun des nombres est intérieur à l’intervalle correspondant.
On dit que la suite de points , , , , a pour limite le point (ou tend vers ce point) si l’on a , ,
29. Supposons qu’une fonction d’une, de deux ou de plusieurs variables soit définie en tous les points d’un certain champ (le champ se réduisant, dans le cas d’une seule variable, à un intervalle) : on dit que est définie dans le champ .
On dit que est continue au point du champ si, pour toute suite de points de : , , , , tendant vers , on a
.
Si cette condition est remplie pour tous les points de , on dit que est continue dans .
30. Les fonctions de la variable suivantes : , , qui sont définies dans le champ , sont continues dans ce champ, car, d’après le § 16, la condition
entraîne
,
.
Au contraire, la partie entière de n’est pas continue car, en prenant par exemple ( 1, 2, 3, …) et , on a , mais la partie entière de , qui est , quel que soit , ne tend pas vers la partie entière de qui est .
La fonction des deux variables et est continue dans le champ , , car, d’après le Théorème IV, § 26, les conditions , entraînent .