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NOTIONS DE FONCTION ET DE CONTINUITÉ
Un point
est dit intérieur à un champ si chacun des nombres
est intérieur à l’intervalle correspondant.
On dit que la suite de points
,
,
,
,
a pour limite le point
(ou tend vers ce point) si l’on a
,
,
29. Supposons qu’une fonction
d’une, de deux ou de plusieurs variables soit définie en tous les points d’un certain champ
(le champ se réduisant, dans le cas d’une seule variable, à un intervalle) : on dit que
est définie dans le champ
.
On dit que
est continue au point
du champ
si, pour toute suite de points de
:
,
,
,
,
tendant vers
, on a
![{\displaystyle \lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=f(x_{0},y_{0},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a4a24b37b4c2c5d06d3dbdf588bc4ff0bfb72e)
.
Si cette condition est remplie pour tous les points
de
, on dit que
est continue dans
.
30. Les fonctions de la variable
suivantes :
,
, qui sont définies dans le champ
, sont continues dans ce champ, car, d’après le § 16, la condition
![{\displaystyle \lim {x_{n}}=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5961a9559a5398145f38cd1cdb0f96f5f64bb02)
entraîne
![{\displaystyle \lim {(-x_{n})}=-x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e932c9e257678db9fde859c089823ac26d5921)
,
![{\displaystyle \lim {|x_{n}|}=|x_{0}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034a9f545ed221b5e517fe7062d695a0b8525d21)
.
Au contraire, la partie entière de
n’est pas continue car, en prenant par exemple
(
1, 2, 3, …) et
, on a
, mais la partie entière de
, qui est
, quel que soit
, ne tend pas vers la partie entière de
qui est
.
La fonction
des deux variables
et
est continue dans le champ
,
, car, d’après le Théorème IV, § 26, les conditions
,
entraînent
.