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FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

VIII

FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

31. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour des systèmes de valeurs rationnelles attribuées aux variables : nous les appellerons fonctions d’arguments rationnels.

Une fonction d’arguments rationnels ${f(x,y,\ldots )}$ supposée définie en tous les points rationnels d’un champ $\mathrm {C}$ est dite définie dans ce champ. Elfe est dite uniformément continue dans $\mathrm {C}$ si, à tout nombre positif $\varepsilon$, correspond un nombre positif $\alpha$ tel que, pour deux points rationnels $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$ du champ $\mathrm {C}$ satisfaisant aux conditions

(1)

$|x-x'|<\alpha <\alpha$,$|y-y'|<\alpha$,$\ldots$,

on a

(2)

$|f(x,y,\ldots )-f(x',y',\ldots )|<\varepsilon$.

Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de $\varepsilon$ si elle est remplie pour toute valeur positive rationnelle attribuée à $\varepsilon$.

32. Les fonctions d’arguments rationnels ${x+y}$, ${x-y}$ sont uniformément continues dans le champ

$-\infty <x<+\infty$,$-\infty <y<+\infty$.

En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici

$|(x+y)-(x'+y')|<\varepsilon$,$|(x-y)-(x'-y')|<\varepsilon$,

$\varepsilon$ étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux