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FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS
et
soient deux nombres différents de 0 et de même signe.
Cette condition étant supposée remplie, je dis que
est uniformément continue dans le champ
.
Prenons un nombre positif rationnel
supérieur aux valeurs absolues de
,
, et un nombre positif rationnel
inférieur aux valeurs absolues de
et
; on aura, pour tout point du champ
,
![{\displaystyle |x|<\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c245c386f4d9e217d75aff785b7899732ef21c)
,
![{\displaystyle \mu <|y|<\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2369e20d6eb77b14b939e422baf0472d2563f4)
.
Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
![{\displaystyle \left\vert {\frac {x}{y}}-{\frac {x'}{y'}}\right\vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aecf691ccb8743de0366e8c2a0b7badaa46179)
,
qui se transforme en
![{\displaystyle {\frac {|xy'-x'y|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854ae2c15c0ed94cc267f0a4db974bd3a0357c58)
,
ou
![{\displaystyle {\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66471acbbd508aeb42ba2fc0196dfabe348b058b)
.
Nous remplaçons cette inégalité par la suivante :
![{\displaystyle {\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{\mu ^{2}}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0888bf0766550abf772d8954560aa3fa118564e)
,
et cette dernière par les deux suivantes :
![{\displaystyle {\frac {|x-x'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888ccf1e16853c2bca4d1e4d66ab1f7ed11343ca)
,
![{\displaystyle {\frac {|y-y'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a7fb8f68dffa570b8a0b4c582569a3a93fdd04)
.
La question sera donc résolue en prenant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {\varepsilon \mu ^{2}}{2\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f155ff73322176335ea9815473097d1de8ab7c2b)
.