Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/35

35

FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

$b$ et $b'$ soient deux nombres différents de 0 et de même signe.

Cette condition étant supposée remplie, je dis que ${\frac {x}{y}}$ est uniformément continue dans le champ $\mathrm {C}$.

Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur aux valeurs absolues de $a,a'$, $b,b'$, et un nombre positif rationnel $\mu$ inférieur aux valeurs absolues de $b$ et $b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,

$|x|<\mathrm {A}$,$\mu <|y|<\mathrm {A}$.

Il s’agit de satisfaire à l’inégalité

$\left\vert {\frac {x}{y}}-{\frac {x'}{y'}}\right\vert <\varepsilon$,

qui se transforme en

${\frac {|xy'-x'y|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$,

ou

${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$.

Nous remplaçons cette inégalité par la suivante :

${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{\mu ^{2}}}<\varepsilon$,

et cette dernière par les deux suivantes :

${\frac {|x-x'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$,${\frac {|y-y'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

La question sera donc résolue en prenant

$\alpha ={\frac {\varepsilon \mu ^{2}}{2\mathrm {A} }}$.