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PRINCIPE D’EXTENSION
IX
PRINCIPE D’EXTENSION
35. Soit
une fonction d’un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas, d’après les § 32, 33, 34, pour
,
,
,
. Un point
, rationnel ou non, peut avoir la propriété d’être intérieur à un champ dans lequel
est définie. [Cette condition est remplie par tout point
dans le cas des fonctions
,
,
; par tout point
pour lequel
, dans le cas de
. Nous allons définir une fonction
qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à
en tout point rationnel où
est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.
Soit
un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné
auquel
est intérieur, et tel que
est définie et uniformément continue dans
.
On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers
, soit,
(1)
|
|
|
Du fait que
est intérieur au champ
résulte que, quand
dépasse une certaine valeur, le point
appartient au champ
; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).