Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/36

36

PRINCIPE D’EXTENSION

IX

PRINCIPE D’EXTENSION

35. Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction d’un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas, d’après les § 32, 33, 34, pour ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}{\Big )}$. Un point ${(x,y,\ldots )}$, rationnel ou non, peut avoir la propriété d’être intérieur à un champ dans lequel $f$ est définie. [Cette condition est remplie par tout point ${(x,y)}$ dans le cas des fonctions ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$ ; par tout point ${(x,y)}$ pour lequel ${y\neq 0}$, dans le cas de ${\frac {x}{y}}{\Big ]}$. Nous allons définir une fonction ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$ qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à ${f(x,y,\ldots )}$ en tout point rationnel où $f$ est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.

Soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné $\mathrm {C}$ auquel ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur, et tel que $f$ est définie et uniformément continue dans $\mathrm {C}$.

On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, soit,

(1)

$(x_{1},y_{1},\ldots ),\quad (x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\quad (x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$

Du fait que ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur au champ $\mathrm {C}$ résulte que, quand $n$ dépasse une certaine valeur, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ appartient au champ $\mathrm {C}$ ; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).