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PRINCIPE D’EXTENSION

D’après le Théorème II (2^o), cela signifie que ${f(x'_{n},y'_{n},\ldots )}$ tend vers la même limite que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$, c’est-à-dire vers $\lambda$.

Ainsi $\lambda$ ne dépend que de ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$.

3^o Quand ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est un point rationnel, on a ${\lambda =f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Il suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont identiques à ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; la limite de (2) est alors ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$.

On reconnaît ainsi qu’une fonction devant remplir les conditions imposées à $\mathrm {F}$ doit nécessairement, au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, avoir pour valeur $\lambda$. Nous poserons donc ${\mathrm {F} (x_{0},y_{0},\ldots )=\lambda }$.

Je dis que $\mathrm {F}$ a la propriété suivante :

4^o $\varepsilon$ et $\alpha$ ayant la même signification que plus haut, pour deux points $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$ quelconques du champ $\mathrm {C}$, les conditions

(5)

$|x-x'|<\alpha$,$|y-y'|<\alpha$,$\ldots$

entraînent

(6)

$|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x',y',\ldots )|\leqslant \varepsilon$.

Si ${x\neq x'}$, prenons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ compris entre $x$ et $x'$ et tendant vers $x$ ; prenons de même une suite de nombres rationnels $x'_{1}$, $x'_{2}$, $\ldots ,x'_{n}$, $\ldots$ compris entre $x$ et $x'$ et tendant vers $x'$. Si ${x=x'}$, prenons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x$ et tous contenus dans l’intervalle de variation de $x$ relatif au champ $\mathrm {C}$ ; prenons ${x'_{n}=x_{n}}$. On a ainsi dans tous les cas

$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$.

En opérant de même pour chacune des autres variables $y,\ldots$, on obtient deux suites de points rationnels appartenant au champ $\mathrm {C}$ :

$(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$

$(x'_{1},y'_{1},\ldots ),\,(x'_{2},y'_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x'_{n},y'_{n},\ldots ),\,\ldots$