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PRINCIPE D’EXTENSION
ayant respectivement pour limites les points
et
, et tels que
![{\displaystyle |x_{n}-x'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ad584c18d8ec66b6faa6a15d7b566fa5f3fc0)
,
![{\displaystyle |y_{n}-y'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2948990677c83e85e8070b580562723a5754414)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
.
On a donc, quel que soit
,
![{\displaystyle |f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914a5f952c1aa9f402981057e294d00f8321b506)
.
D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre
, c’est-à-dire
. Donc
(6)
|
.
|
|
Cela étant, la fonction
est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques
![{\displaystyle (x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f879d027e8e11409bcfe88a01b0bc083307cbf2)
ayant pour limite le point
. Supposons
définie en tous ces points. Prenons un champ
auquel
soit intérieur. Soit
; déterminons
de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand
dépasse une certaine valeur
, le point
est intérieur à
, et d’autre part on a
![{\displaystyle |x-x_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214d4cf781445d4c67c179ff169f77b12e0f189f)
,
![{\displaystyle |y-y_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f24dd0605172cda2cf54a8b3a2122850a1ff80b)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
d’où, par suite,
![{\displaystyle |\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )|\leqslant \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9a529379025c675f17deaee6b047394cdbe444)
.
ce qui montre que
a pour limite
.
On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction
est la fonction
étendue, et le procédé qui permet, en partant de
, de définir
, sera appelé principe d’extension.
36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels :
,
,
,
est uniformément continue dans