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PRINCIPE D’EXTENSION
ayant respectivement pour limites les points et , et tels que
,
,
.
On a donc, quel que soit ,
.
D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre , c’est-à-dire . Donc
(6)
|
.
|
|
Cela étant, la fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques
ayant pour limite le point . Supposons définie en tous ces points. Prenons un champ auquel soit intérieur. Soit ; déterminons de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand dépasse une certaine valeur , le point est intérieur à , et d’autre part on a
,
,
,
d’où, par suite,
.
ce qui montre que a pour limite .
On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction est la fonction étendue, et le procédé qui permet, en partant de , de définir , sera appelé principe d’extension.
36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels : , , , est uniformément continue dans