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PRINCIPE D’EXTENSION
1o Je dis que la suite de nombres
(2)
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a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à
correspond
tel que, pour deux points rationnels du champ
:
,
, les conditions
entraînent
(4)
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.
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On a
![{\displaystyle \lim {x_{n}}=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5961a9559a5398145f38cd1cdb0f96f5f64bb02)
,
![{\displaystyle \lim {y_{n}}=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248616a83eadaa8624db7d39679eb46b4ef88e69)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
Appliquant le Théorème I (1o) (§ 23) aux suites (en nombre fini)
, on voit qu’à
correspond un entier
, tel que, pour
,
, on a
![{\displaystyle |x_{\mu }-x_{\nu }|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a47527ad4f0d1021ffed5ef9269db02c750810b)
,
![{\displaystyle |y_{\mu }-y_{\nu }|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eca7fb131e910f85c72f38b89b0421b2184dc6)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et par suite, d’après (4),
![{\displaystyle |f(x_{\mu },y_{\mu },\ldots )-f(x_{\nu },y_{\nu },\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e8f5099c086a0d58a4fec158e8e28a19f0912d)
.
D’après le Théorème I (2o), comme
est arbitraire, cela signifie que
a une limite
.
2o Je dis que la limite
n’est pas changée si on remplace la suite de points (1) par une autre suite de points rationnels du champ
tendant aussi vers
, soit
![{\displaystyle (x'_{1},y'_{1},\ldots ),\quad (x'_{2},y'_{2},\ldots ),\quad \ldots ,\quad (x'_{n},y'_{n},\ldots ),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43d5783d04e6ab8144629e7458926d3029b85c0)
En effet, d’après le Théorème II (1o) (§ 24), des conditions
![{\displaystyle \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {x_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\\\lim {x'_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {y_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\\\lim {y'_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\ldots {\text{,}}\\\ldots {\text{,}}\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ad441019212d9446ea4a8edaa175107d4f5b67)
on déduit que, quand
dépasse une certaine valeur
, on a
![{\displaystyle |x_{n}-x'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090ad584c18d8ec66b6faa6a15d7b566fa5f3fc0)
,
![{\displaystyle |y_{n}-y'_{n}|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2948990677c83e85e8070b580562723a5754414)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et par suite
![{\displaystyle |f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914a5f952c1aa9f402981057e294d00f8321b506)
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