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PRINCIPE D’EXTENSION

1^o Je dis que la suite de nombres

(2)

$f(x_{1},y_{1},\ldots ),\quad f(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\quad f(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$

a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à ${\varepsilon >0}$ correspond ${\alpha >0}$ tel que, pour deux points rationnels du champ $\mathrm {C}$ : $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$, les conditions

(3)

$|x-x'|<\alpha$,$|y-y'|<\alpha$,$\ldots$

entraînent

(4)

$|f(x,y,\ldots )-f(x',y',\ldots )|<\varepsilon$.

On a

$\lim {x_{n}}=x_{0}$,$\lim {y_{n}}=y_{0}$,$\ldots$

Appliquant le Théorème I (1^o) (§ 23) aux suites (en nombre fini) $x_{n},y_{n},\ldots$, on voit qu’à $\alpha$ correspond un entier $p$, tel que, pour ${\mu >p}$, ${\nu >p}$, on a

$|x_{\mu }-x_{\nu }|<\alpha$,$|y_{\mu }-y_{\nu }|<\alpha$,$\ldots$

et par suite, d’après (4),

$|f(x_{\mu },y_{\mu },\ldots )-f(x_{\nu },y_{\nu },\ldots )|<\varepsilon$.

D’après le Théorème I (2^o), comme $\varepsilon$ est arbitraire, cela signifie que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ a une limite $\lambda$.

2^o Je dis que la limite $\lambda$ n’est pas changée si on remplace la suite de points (1) par une autre suite de points rationnels du champ $\mathrm {C}$ tendant aussi vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, soit

$(x'_{1},y'_{1},\ldots ),\quad (x'_{2},y'_{2},\ldots ),\quad \ldots ,\quad (x'_{n},y'_{n},\ldots ),\quad \ldots .$

En effet, d’après le Théorème II (1^o) (§ 24), des conditions

$\left\lbrace {\begin{aligned}\lim {x_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\\\lim {x'_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {y_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\\\lim {y'_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\ldots {\text{,}}\\\ldots {\text{,}}\end{aligned}}\right.$

on déduit que, quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, on a

$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$,$|y_{n}-y'_{n}|<\alpha$,$\ldots$

et par suite

$|f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon$.