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PRINCIPE D’EXTENSION

tout champ borné où elle se trouve définie, le principe d’extension est applicable à ces fonctions, et donne naissance à des fonctions d’arguments quelconques, que nous désignerons encore par ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ et que nous appellerons somme, différence, produit, quotient ; les trois premières sont définies en tout point ${(x,y)}$, la dernière en tout point pour lequel ${y\neq 0}$ ; chacune d’elles est continue dans tout champ où elle se trouve définie. Cette définition est nouvelle pour ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ ; en ce qui concerne ${x-y}$, nous avons déjà défini sous ce nom (Section V) une certaine fonction qui se réduit, quand $x$ et $y$ sont rationnels, à la différence ${x-y}$ définie en arithmétique et algèbre élémentaire, et qui est continue (§ 30) : cette double propriété montre l’identité de la définition de ${x-y}$ de la Section V avec la définition actuelle.

Le nombre ${\frac {1}{x}}$ (qui est défini si ${x\neq 0}$) est dit l’inverse de $x$.

37. De la définition de $\mathrm {F}$ résulte la propriété suivante : Si un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur à un champ $\mathrm {C}$, et si les valeurs de ${f(x,y,\ldots )}$ aux points rationnels de $\mathrm {C}$ sont comprises entre des nombres $\mathrm {M}$, $m$, le nombre ${\mathrm {F} (x_{0},y_{0},\ldots )}$ est aussi compris entre $\mathrm {M}$ et $m$.

En particulier, on déduit de là que, si $x$ et $y$ sont positifs, ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ sont aussi positifs, car, en prenant des nombres rationnels $a$, $a'$, $b$, $b'$, tels que

$0<a<x<a'$,$0<b<y<b'$,

les fonctions d’arguments rationnels ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ dans le champ $\mathrm {C}$ :

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,