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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
entre elles
, et comme elles tendent toutes deux vers
quand
prend une suite de valeurs tendant vers 0, il en résulte que
.
On exprime ce fait en disant qu’une fonction continue d’une variable ne peut passer d’une valeur à une autre qu’en passant par toutes les valeurs intermédiaires.
45. Une fonction d’une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ, chacune de ses bornes supérieure et inférieure.
Je démontrerai d’abord la proposition préliminaire suivante :
Soit
une fonction quelconque définie en tous les points d’un champ borné
; soit
la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de
aux points de
. Je dis qu’il y a un point
de
tel que, quel que soit
, dans le champ
![{\displaystyle x_{0}-\varepsilon \leqslant x\leqslant x_{0}+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94d791eba9aaff7914dc5983918d9ea4887842e)
,
![{\displaystyle y_{0}-\varepsilon \leqslant y\leqslant y_{0}+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854507c0c3a526afcf8df61f343497cfbc22363f)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
la borne supérieure de
est
.
Soit
le champ borné à
variables
(1)
|
, , .
|
|
Partageons
en
champs partiels, chacun d’eux s’obtenant en remplaçant dans (1) l’intervalle de variation
, soit par
, soit par
, et opérant de même pour chacune des variables
La borne supérieure de
est égale à
dans l’un au moins de ces champs, car la borne dans
est égale à la plus grande des bornes dans les divers champs partiels. Soit
un champ partiel dans lequel
a pour borne supérieure
; désignons
comme il suit :
(2)
|
, , .
|
|