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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
On a
,
,
,
,
,
En opérant sur comme on a opéré sur , et répétant indéfiniment l’opération, on obtient des champs , , , en chacun desquels a pour borne supérieure. Si , , correspondent à comme , , à , on a
. . . . . . . . . . . .
avec
,
,
Les nombres ont donc une limite commune , les nombres une limite commune , etc.
Le point est tel que, quel que soit , le champ
(3)
|
,,
|
|
contient, quand est assez grand, le champ
,
,
dans lequel la borne supérieure de est . Donc a pour borne supérieure dans (3), quel que soit .
Appliquons cette proposition au cas où est continue dans le champ .
Comme, dans le champ
,
,
,