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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

On a

$a\leqslant a_{1}\leqslant a'_{1}\leqslant a'$,$b\leqslant b_{1}\leqslant b_{1}'\leqslant b'$,$\ldots$,

$a'_{1}-a_{1}={\frac {a'-a}{2}}$,$b'_{1}-b_{1}={\frac {b'-b}{2}}$,$\ldots .$

En opérant sur $\mathrm {C} _{1}$ comme on a opéré sur $\mathrm {C}$, et répétant indéfiniment l’opération, on obtient des champs $\mathrm {C} _{1}$, $\mathrm {C} _{2}$, $\ldots$, $\mathrm {C} _{n},\ldots$ en chacun desquels $f$ a $\mathrm {M}$ pour borne supérieure. Si $a_{n},a'_{n}$, $b_{n},b'_{n}$, $\ldots$ correspondent à $\mathrm {C} _{n}$ comme $a,a'$, $b,b'$, $\ldots$ à $\mathrm {C}$, on a

$\left\lbrace {\begin{aligned}a&\leqslant a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant \ldots \\a'&\geqslant a'_{1}\geqslant a'_{2}\geqslant \ldots \geqslant a'_{n}\geqslant \ldots \end{aligned}}\right.$

$\left\lbrace {\begin{aligned}b&\leqslant b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \ldots \leqslant b_{n}\leqslant \ldots \\b'&\geqslant b'_{1}\geqslant b'_{2}\geqslant \ldots \geqslant b'_{n}\geqslant \ldots \end{aligned}}\right.$

. . . . . . . . . . . .

avec

$a'_{n}-a_{n}={\frac {a'-a}{2^{n}}}$,$b'_{n}-b_{n}={\frac {b'-b}{2^{n}}}$,$\ldots .$

Les nombres $a_{n},a'_{n}$ ont donc une limite commune $x_{0}$, les nombres $b_{n},b'_{n}$ une limite commune $y_{0}$, etc.

Le point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est tel que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, le champ

(3)

$x_{0}-\varepsilon \leqslant x\leqslant x_{0}+\varepsilon$,$y_{0}-\varepsilon \leqslant y\leqslant y_{0}+\varepsilon$,$\ldots$

contient, quand $n$ est assez grand, le champ $\mathrm {C} _{n}$

$a_{n}\leqslant x\leqslant a'_{n}$,$b_{n}\leqslant y\leqslant b'_{n}$,$\ldots$

dans lequel la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$. Donc $f$ a pour borne supérieure $\mathrm {M}$ dans (3), quel que soit ${\varepsilon >0}$.

Appliquons cette proposition au cas où ${f(x,y,\ldots )}$ est continue dans le champ $\mathrm {C}$.

Comme, dans le champ

$|x-x_{0}|\leqslant \varepsilon$,$|y-y_{0}|\leqslant \varepsilon$,$\ldots$,