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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$, quel que soit $\varepsilon$, il en résulte, d’après la continuité de $f$ (§ 43), que

$\mathrm {M} =f(x_{0},y_{0},\ldots )$.

Cela montre en premier lieu que $\mathrm {M}$ est un nombre fini, c’est-à-dire que $f$ est bornée supérieurement, et en second lieu que $f$ atteint la valeur $\mathrm {M}$ en un point au moins. De même, on montrera que $f$ est bornée inférieurement et atteint sa borne inférieure en un point au moins.

46. Étant donné un ensemble $\mathrm {E}$ de nombres, ayant pour bornes supérieure et inférieure $\mathrm {M}$ et $m$, le nombre positif ou nul ${\omega =\mathrm {M} -m}$ est dit l’oscillation de $\mathrm {E}$. En particulier, l’oscillation de l’ensemble des valeurs que prend une fonction $f$ aux points d’un champ $\mathrm {C}$ où elle est définie est dite l’oscillation de $f$ dans ce champ ; si $\mathrm {C'}$ est contenu dans $\mathrm {C}$, l’oscillation de $f$ dans $\mathrm {C'}$ est $\leqslant$ à l’oscillation dans $\mathrm {C}$.

Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction continue dans un champ borné $\mathrm {C}$. En écartant le cas où $f$ aurait la même valeur en tous les points de $\mathrm {C}$ (fonction constante), l’oscillation de $f$ dans $\mathrm {C}$ est un nombre positif $\omega$. Considérons un nombre positif $\varepsilon$ inférieur à $\omega$. Soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un point du champ. Si on considère, $\alpha$ étant positif, le champ $\Gamma$

$|x-x_{0}|\leqslant \alpha$,$|y-y_{0}|\leqslant \alpha$,$\ldots$,

en vertu de la continuité, l’oscillation de $f$ dans $\Gamma$ tend vers 0 quand $\alpha$ tend vers 0 ; donc elle est ${<\varepsilon }$ pour des valeurs assez petites de $\alpha$ ; d’autre part, quand $\alpha$ est assez grand, $\Gamma$ contient $\mathrm {C}$, par suite l’oscillation dans $\Gamma$ surpasse $\varepsilon$. Soit $\beta$ la borne supérieure des nombres $\alpha$ tels que l’oscillation de $f$ dans $\Gamma$ est ${\leqslant \varepsilon }$ : $\beta$ est un nombre fini et positif, bien déterminé pour chaque point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ du champ. Donc $\beta$ est une fonction ${\varphi (x,y,\ldots )}$ définie dans le champ $\mathrm {C}$ ; je dis que c’est une fonction continue de ${(x,y,\ldots )}$.

En effet, soit $\beta _{0}$ la valeur de $\beta$ au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; pre-