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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

nons ${\eta >0}$ tel que ${\beta _{0}-2\eta >0}$ ; soit ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ un point de $\mathrm {C}$ tel que

(1)

$|x_{1}-x_{0}|\leqslant \eta$,$|y_{1}-y_{0}|\leqslant \eta$,$\ldots .$

Considérons les quatre champs

(2)$\mathrm {C}$	$|x-x_{0}|\leqslant \beta _{0}-\eta$,$2$$|y-y_{0}|\leqslant \beta _{0}-\eta$,$2$$\ldots$,
(3)$\mathrm {C'}$	$|x-x_{0}|\leqslant \beta _{0}+\eta$,$2$$|y-y_{0}|\leqslant \beta _{0}+\eta$,$2$$\ldots$,
(4)$\mathrm {C_{1}}$	$|x-x_{1}|\leqslant \beta _{0}-2\eta$,$|y-y_{1}|\leqslant \beta _{0}-2\eta$,$\ldots$,
(5)$\mathrm {C_{1}'}$	$|x-x_{1}|\leqslant \beta _{0}+2\eta$,$|y-y_{1}|\leqslant \beta _{0}+2\eta$,$\ldots .$

On voit que (1) et (4) entraînent (2), que (1) et (3) entraînent (5) ; donc $\mathrm {C_{1}}$ est contenu dans $\mathrm {C}$, $\mathrm {C'_{1}}$ contient $\mathrm {C'}$ ; donc l’oscillation dans $\mathrm {C_{1}}$ est ${\leqslant \varepsilon }$ comme dans $\mathrm {C}$, et l’oscillation dans $\mathrm {C'_{1}}$ est ${>\varepsilon }$ comme dans $\mathrm {C'}$. Cela montre que la valeur $\beta _{1}$ de $\beta$ au point ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ est comprise entre ${\beta _{0}-2\eta }$ et ${\beta _{0}+2\eta }$, sous les conditions (1) ; $\eta$ étant arbitraire, $\beta$ est continue ; donc $\beta$ a une borne inférieure $\gamma$ qui, étant atteinte en un certain point, est positive. Pour tout point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ du champ $\mathrm {C}$, les conditions

(6)

$|x-x_{0}|\leqslant \gamma$,$|y-y_{0}|\leqslant \gamma$,$\ldots$

entraînent

(7)

$|f(x,y,\ldots )-f(x_{0},y_{0},\ldots )|\leqslant \varepsilon$.

En résumé, étant donné ${\varepsilon >0}$, il y a un nombre positif $\gamma$ tel que, ${(x,y,\ldots )}$ et ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ étant deux points quelconques de $\mathrm {C}$ vérifiant les conditions (6), il en résulte (7). Ce fait, démontré pour le cas de ${\varepsilon <\omega }$, a lieu a fortiori pour toute valeur positive de $\varepsilon$ ; il a lieu évidemment pour le cas, écarté précédemment, d’une fonction constante. On exprime la propriété obtenue en disant que toute fonction ${f(x,y,\ldots )}$ continue dans un champ borné est uniformément continue dans ce champ.