Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/52

52

FONCTIONS INVERSES

XII

FONCTIONS INVERSES

47. Une fonction ${f(x)}$ d’une variable $x$, définie, soit pour toutes les valeurs d’un intervalle, soit seulement pour certaines de ces valeurs, est dite croissante si, $x'$ et $x''$ étant deux nombres pour lesquels elle est définie, la condition

(1)

${x'<x''}$

entraîne

(2)

${f(x')<f(x'')}$ ;

elle est décroissante si (1) entraîne

(3)

${f(x')>f(x'')}$.

Il est évident que si $f$ est croissante, $-f$ est décroissante ; à toute propriété des fonctions croissantes correspond une propriété des fonctions décroissantes.

Les fonctions ${a+x}$, ${a\times x}$ (celle-ci dans le cas de ${a>0}$) sont croissantes dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$ en vertu du calcul des inégalités étendu. De même, les fonctions $-x$, ${a\times x}$ (dans le cas de ${a<0}$) sont décroissantes dans le même intervalle. La fonction ${\frac {1}{x}}$, dans l’intervalle ${(a,+\infty )}$, $a$ étant positif, est décroissante.

Soit $f$ une fonction d’un argument rationnel définie pour tous les points rationnels d’un intervalle $\mathrm {I}$ (borné ou non), croissante, et uniformément continue dans tout intervalle borné contenu dans $\mathrm {I}$. On sait que le principe d’extension s’applique à $f$ et donne une fonction $\mathrm {F}$ définie et continue dans l’intervalle $\mathrm {I}$. Je dis que $\mathrm {F}$ est croissante comme $f$. En effet, soient $x'$ et $x''$ deux valeurs quelconques de l’intervalle, et soit ${x'<x''}$. On peut trouver des nombres rationnels $x'_{1}$, $x'_{2}$, $\ldots$, $x'_{n}$, $\ldots$ et $x''_{1}$, $x''_{2}$, $\ldots$, $x''_{n}$, $\ldots$ tels qu’on ait