Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/53

53

FONCTIONS INVERSES

$x'<\ldots <x'_{n}<\ldots <x'_{1}<x''_{1}<\ldots <x''_{n}<\ldots x''$,

$\lim {x'_{n}}=x'$,$\lim {x''_{n}}=x''$.

On aura

$\mathrm {F} (x')=\lim {f(x'_{n})}<f(x'_{1})<f(x''_{1})<\lim {f(x''_{n})}=\mathrm {F} (x'')$,

c’est-à-dire

$\mathrm {F} (x')<\mathrm {F} (x'')$.

De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d’argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.

48. Soit $f$ une fonction continue croissante dans un intervalle borné ${(a,\,b)}$ ; soient $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ les bornes inférieure et supérieure de $f$. La fonction doit atteindre la valeur $\mathrm {A}$ en un point de l’intervalle, qui ne peut être que $a$ ; ainsi ${f(a)=\mathrm {A} }$ ; de même ${f(b)=\mathrm {B} }$. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le § 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ; donc si $\lambda$ est tel que ${\mathrm {A} \leqslant \lambda \leqslant \mathrm {B} }$, il y a une valeur et une seule de $x$ pour laquelle $f$ prend la valeur $\lambda$.

Ces résultats s’appliquent, avec quelques modifications, si l’intervalle de variation de $x$ est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l’intervalle ${(a,+\infty )}$ ; la borne inférieure $\mathrm {A}$ est atteinte pour $a$ ; tout nombre $\lambda$ tel que ${\mathrm {A} \leqslant \lambda <\mathrm {B} }$ est atteint ; la borne supérieure $\mathrm {B}$, qui peut être, soit finie, soit égale à ${+\infty }$, n’est pas atteinte ; mais si $x$ prend une suite de valeurs tendant vers $+\infty$ (sens étendu de la notion de limite), ${f(x)}$ tend vers $\mathrm {B}$. Par exemple, les fonctions croissantes ${a+x}$, ${a\times x}$ (si ${a>0}$), tendent vers $+\infty$ en même temps que $x$ ; la fonction décroissante ${\frac {1}{x}}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$.

Si l’intervalle de variation est ${(-\infty ,+\infty )}$, aucune des deux bornes n’est atteinte.