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FONCTIONS INVERSES
![{\displaystyle x'<\ldots <x'_{n}<\ldots <x'_{1}<x''_{1}<\ldots <x''_{n}<\ldots x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba16d61eebd91f433c8af7f8214e93012611a37)
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}}=x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bef25fec8329502699d59311be2af97082024f1)
,
![{\displaystyle \lim {x''_{n}}=x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dac92cccd4110198850fc2f6a8dcc10431de80)
.
On aura
![{\displaystyle \mathrm {F} (x')=\lim {f(x'_{n})}<f(x'_{1})<f(x''_{1})<\lim {f(x''_{n})}=\mathrm {F} (x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb51df50347270918fc760dcd925d655a357949)
,
c’est-à-dire
![{\displaystyle \mathrm {F} (x')<\mathrm {F} (x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe16bd679d0faa98a40bb93973199ca4b231670)
.
De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d’argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.
48. Soit
une fonction continue croissante dans un intervalle borné
; soient
,
les bornes inférieure et supérieure de
. La fonction doit atteindre la valeur
en un point de l’intervalle, qui ne peut être que
; ainsi
; de même
. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le § 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre
et
; donc si
est tel que
, il y a une valeur et une seule de
pour laquelle
prend la valeur
.
Ces résultats s’appliquent, avec quelques modifications, si l’intervalle de variation de
est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l’intervalle
; la borne inférieure
est atteinte pour
; tout nombre
tel que
est atteint ; la borne supérieure
, qui peut être, soit finie, soit égale à
, n’est pas atteinte ; mais si
prend une suite de valeurs tendant vers
(sens étendu de la notion de limite),
tend vers
. Par exemple, les fonctions croissantes
,
(si
), tendent vers
en même temps que
; la fonction décroissante
tend vers 0 quand
tend vers
.
Si l’intervalle de variation est
, aucune des deux bornes n’est atteinte.