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FONCTIONS INVERSES
49. Dans tous les cas, qu’il s’agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par
l’ensemble des valeurs que prend
, par
l’ensemble des valeurs que prend
supposée continue et croissante ; à toute valeur
de
correspond une valeur
de
; et réciproquement, si on se donne un nombre
de
, il y a un et un seul nombre
de
tel que
; donc ce nombre
peut être considéré comme une fonction de
que je désigne par
.
constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de
.
est croissante, car il y a équivalence entre les conditions
et
![{\displaystyle f(x')<f(x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccccb9a5f29b02f79d6da2d0ffebb229c81a30e)
,
c’est-à-dire, si
,
,entre
et
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {X'} )<\varphi (\mathrm {X''} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e21df692a585e12d9b219613792f7ff29528a44)
.
Je dis que
est continue, c’est-à-dire que si
,
,
,
,
,
sont des nombres de
tels que
, on a
. Nous posons
,
. Supposons d’abord que
ne soit pas une borne de l’ensemble
, et prenons deux nombres
et
de
tels que
![{\displaystyle x'<x_{0}<x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5279c3bae5bb0bd5b23b4c7a7603848a36c0e)
.
Ces conditions entraînent, en posant
,
,
![{\displaystyle \mathrm {X'} <\mathrm {X} _{0}<\mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0887a40add45140f09b7191e2bf7141ed3d884d6)
.
Quand
dépasse une certaine valeur
, on a
![{\displaystyle \mathrm {X'} <\mathrm {X} _{n}<\mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781208ac2175d3e95945b31b51a7a6597969613d)
,
d’où résulte
![{\displaystyle x'<x_{n}<x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86927c2ea25aa26c5b3d495994db1611522b9bb3)
.
Cela exprime que
tend vers
; donc
tend vers
.
Si
est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble
, il suffit de remarquer que l’on a alors
et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.
Il est donc établi que
est continue. La fonction
est dite la fonction inverse de
.
De même, si
est une fonction continue décroissante, en posant
,
, on reconnaît que
est une fonction continue décroissante.