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FONCTIONS INVERSES
49. Dans tous les cas, qu’il s’agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par 
l’ensemble des valeurs que prend 
, par 
l’ensemble des valeurs que prend 
supposée continue et croissante ; à toute valeur de correspond une valeur 
de ; et réciproquement, si on se donne un nombre de , il y a un et un seul nombre de tel que 
; donc ce nombre peut être considéré comme une fonction de que je désigne par 
. constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de .
est croissante, car il y a équivalence entre les conditions
et
,
c’est-à-dire, si 
,
,entre
et
.
Je dis que 
est continue, c’est-à-dire que si 
, 
, 
, 
, 
, sont des nombres de tels que 
, on a 
. Nous posons 
, 
. Supposons d’abord que 
ne soit pas une borne de l’ensemble , et prenons deux nombres 
et 
de tels que
.
Ces conditions entraînent, en posant 
, 
,
.
Quand 
dépasse une certaine valeur 
, on a
,
d’où résulte
.
Cela exprime que 
tend vers ; donc 
tend vers 
.
Si est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble , il suffit de remarquer que l’on a alors 
et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.
Il est donc établi que est continue. La fonction est dite la fonction inverse de 
.
De même, si est une fonction continue décroissante, en posant 
, 
, on reconnaît que est une fonction continue décroissante.
