Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/55

55

DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$

XIII

DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$.

50. La fonction ${\mathrm {X} =x^{m}}$, $m$ étant un entier positif, considérée dans l’intervalle ${(0,+\infty )}$, est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à $0$ pour ${x=0}$, et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. On désigne la fonction inverse de ${\mathrm {X} =x^{m}}$ par la notation

$x={\sqrt[{m}]{\mathrm {X} }}$ ;

c’est la racine $m$^e arithmétique du nombre positif $\mathrm {X}$. On voit que c’est une fonction continue et croissante de $\mathrm {X}$ dans l’intervalle ${(0,+\infty )}$ ; elle est égale à $0$ pour ${\mathrm {X} =0}$, et tend vers $+\infty$ en même temps que $\mathrm {X}$.

Si $u$ est une fonction des variables $x,y,\ldots$, continue et non négative dans un champ, ${\sqrt[{m}]{u}}$ est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du § 38.

51. D’après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini ${\sqrt[{m}]{a}}$ (${a>0}$), comment on définit $a^{x}$, $x$ étant un nombre rationnel quelconque ; $a^{x}$ est ainsi une fonction d’argument rationnel, définie dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$ ; on démontre qu’elle a les propriétés suivantes :

1o

$a^{x}\times a^{x'}=a^{x+x'}$ ;

2o

$\;\,\left(a^{x}\right)^{x'}=a^{xx'}$ ;

3^o  $a^{x}$ tend vers 1 si $x$ prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers 0 ;

4^o  Si ${a>1}$, $a^{x}$ est croissante ; si ${a<1}$, est décroissante.