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DÉFINITION DES FONCTIONS
Je dis que la fonction d’argument rationnel est uniformément continue dans tout intervalle borné . Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
,
qui peut s’écrire
,
Or, si est un nombre positif supérieur à et , comme est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité
,
ou
.
Or, cette inégalité est vérifiée quand on a
,
étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3o.
Ainsi le principe d’extension s’applique à la fonction d’argument rationnel et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler , définie pour toutes les valeurs réelles de , continue, croissante si , décroissante si , égale à si . C’est la fonction exponentielle.
Si , comme tend vers en même temps que si est entier, tend vers si tend vers . De même, tend vers 0 si tend vers . Le cas de s’étudie de même.
52. Les fonctions suivantes des deux variables et : et sont toutes deux continues, car si on a deux suites : , , , , tendant vers , et , , , , tendant vers , on a, d’une part
,
,
d’où
;
d’autre part
,
d’où
.