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DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$

Je dis que la fonction d’argument rationnel $a^{x}$ est uniformément continue dans tout intervalle borné ${(\alpha ,\beta )}$. Il s’agit de satisfaire à l’inégalité

$\left\vert a^{x}-a^{x'}\right\vert <\varepsilon$,

qui peut s’écrire

$a^{x'}\left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon$,

Or, si $\mathrm {A}$ est un nombre positif supérieur à $a^{\alpha }$ et $a^{\beta }$, comme $a^{x'}$ est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité

$\mathrm {A} \left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon$,

ou

$\left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <{\frac {\varepsilon }{\mathrm {A} }}$.

Or, cette inégalité est vérifiée quand on a

$|x-x'|<\alpha$,

$\alpha$ étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3^o.

Ainsi le principe d’extension s’applique à la fonction d’argument rationnel $a^{x}$ et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler $a^{x}$, définie pour toutes les valeurs réelles de $x$, continue, croissante si ${a>1}$, décroissante si ${a<1}$, égale à $1$ si ${a=1}$. C’est la fonction exponentielle.

Si ${a>1}$, comme $a^{m}$ tend vers $+\infty$ en même temps que $m$ si $m$ est entier, $a^{x}$ tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$. De même, $a^{x}$ tend vers 0 si $x$ tend vers $-\infty$. Le cas de ${a<1}$ s’étudie de même.

52. Les fonctions suivantes des deux variables $x$ et $y$ : ${a^{x}\times a^{y}}$ et $a^{x+y}$ sont toutes deux continues, car si on a deux suites : $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x_{0}$, et $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$, $\ldots$ tendant vers $y_{0}$, on a, d’une part

$\lim {a^{x_{n}}}=a^{x_{0}}$,$\lim {a^{y_{n}}}=a^{y_{0}}$,

d’où

$\lim {a^{x_{n}}\cdot a^{y_{n}}}=a^{x_{0}}\cdot a^{y_{0}}$ ;

d’autre part

$\lim {(x_{n}+y_{n})}=x_{0}+y_{0}$,

d’où

$\lim {a^{x_{n}+y_{n}}}=a^{x_{0}+y_{0}}$.