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DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$

Les fonctions continues ${a^{x}\cdot a^{y}}$ et $a^{x+y}$, étant égales quand $x$ et $y$ sont rationnels, sont aussi égales quand $x$ et $y$ sont quelconques, d’après le § 39. Donc on a toujours

$a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$.

53. La fonction de $x$, $x^{a}$, où $a$ est un nombre rationnel, est continue ; car si $a$ est positif, soit ${a={\frac {p}{q}}}$, ${x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}$ est fonction continue (§ 50) de $x^{p}$, qui est elle-même fonction continue de $x$ ; si a est négatif, soit ${a=-a'}$, on a ${x^{a}={\frac {1}{x^{a'}}}}$, $x^{a'}$ est fonction continue, donc $x^{a}$ aussi.

54. Quand $x$ et $y$ sont rationnels, on a

(1)

$(a^{x})^{y}=a^{xy}$.

Étendons ce résultat au cas où $x$ et $y$ sont quelconques.

1^o Supposons $y$ rationnel, $x$ étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x$. On a

$\lim {a^{x_{n}}}=a^{x}$

et par suite, d’après le § 53 ($y$ étant rationnel),

$\lim {(a^{x_{n}})^{y}}=(a^{x})^{y}$.

D’autre part, on a, $x_{n}$ et $y$ étant rationnels,

${(a^{x_{n}})}^{y}=a^{x_{n}y}$ ;

donc

$(a^{x})^{y}=\lim {(a^{x_{n}})^{y}}=\lim {a^{x_{n}y}}=a^{\lim {x_{n}y}}=a^{xy}$.

2^o Supposons $x$ et $y$ quelconques ; soit une suite de nombres rationnels $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$, $\ldots$ tendant vers $y$.

On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,

$\lim {(a^{x})^{y_{n}}}=(a^{x})^{y}$.

D’après le cas 1^o, on a

$(a^{x})^{y_{n}}=a^{xy_{n}}$.

Donc

$(a^{x})^{y}=\lim {(a^{x})^{y_{n}}}=\lim {a^{xy_{n}}}=a^{\lim {xy_{n}}}=a^{xy}$.

L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.