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DÉFINITION DES FONCTIONS ![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d8c7523f4d0c62a90ceda782eca779fe6e4fee)
55. La fonction
(
et
) étant définie dans l’intervalle
, et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par
(logarithme de
dans le système de base
). Ainsi, il y a équivalence entre
![{\displaystyle a^{x}=\mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97053672c1d0161928009839e2d2276f83b5817)
,
![{\displaystyle x=\log _{a}{\mathrm {X} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eafb18248391aa0b84d5308931df17b44320750)
Des propriétés fondamentales de l’exponentielle
![{\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe074be132037bc3c3e8abf1c61fe2d53b929fb0)
,
![{\displaystyle {(a^{x})}^{y}=a^{xy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21beef656c792ad58d7ba7c02969eacb0f5e044c)
,
résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :
![{\displaystyle \log _{a}{\mathrm {XY} }=\log _{a}{\mathrm {X} }+\log _{a}{\mathrm {Y} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6b637ca8449838ecbf6aa8c9e06e140bf24a66)
,
![{\displaystyle \log _{a}{\mathrm {X} ^{y}}=y\log _{a}{\mathrm {X} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21833d77338c2f9bd061022445159fcf93b79d5)
.
La fonction logarithmique
est définie pour les valeurs positives de
, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si
, elle est croissante, tend vers
quand
tend vers 0, vers
en même temps que
. Si
, elle est décroissante, tend vers
quand
tend vers 0, vers
quand
tend vers
.
56. La fonction
des variables
et
est définie lorsqu’on a
,
étant quelconque.
Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit
un nombre quelconque
et
; soit
.
On a
![{\displaystyle x^{y}=(a^{x'})^{y}=a^{x'y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934b0a1f7e4f823af03d26923b961c33663b55f9)
.
Si deux suites
,
,
,
,
et
,
,
,
tendent respectivement vers
et
(les
et
étant positifs), on a, en posant
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}}=x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bef25fec8329502699d59311be2af97082024f1)
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}y_{n}}=x'y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0882b31144d309c7a35361466197bff419b8f8)
,
![{\displaystyle x^{y}=a^{x'y}=a^{\lim {x'_{n}y_{n}}}=\lim {a^{x'_{n}y_{n}}}=\lim {(a^{x'_{n}})^{y_{n}}}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9701f259bd5cb651a9ee43bd91616dc0cfa206dd)
.
L’égalité
montre la continuité de la fonction
.