Page:Baire - Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité, 1905.djvu/58

58

DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$

55. La fonction $a^{x}$ (${a>0}$ et ${\neq 1}$) étant définie dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$, et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par $\log _{a}{x}$ (logarithme de $x$ dans le système de base $a$). Ainsi, il y a équivalence entre

$a^{x}=\mathrm {X}$,$x=\log _{a}{\mathrm {X} }.$

Des propriétés fondamentales de l’exponentielle

$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$,${(a^{x})}^{y}=a^{xy}$,

résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :

$\log _{a}{\mathrm {XY} }=\log _{a}{\mathrm {X} }+\log _{a}{\mathrm {Y} }$,

$\log _{a}{\mathrm {X} ^{y}}=y\log _{a}{\mathrm {X} }$.

La fonction logarithmique $\log _{a}{\mathrm {X} }$ est définie pour les valeurs positives de $\mathrm {X}$, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si ${a>1}$, elle est croissante, tend vers $-\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers 0, vers $+\infty$ en même temps que $\mathrm {X}$. Si ${a<1}$, elle est décroissante, tend vers $+\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers 0, vers $-\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers $+\infty$.

56. La fonction $x^{y}$ des variables $x$ et $y$ est définie lorsqu’on a ${x>0}$, $y$ étant quelconque.

Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit $a$ un nombre quelconque ${>0}$ et ${\neq 1}$ ; soit ${x'=\log _{a}{x}}$.

On a

$x^{y}=(a^{x'})^{y}=a^{x'y}$.

Si deux suites $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ et $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$ tendent respectivement vers $x$ et $y$ (les $x_{n}$ et $x$ étant positifs), on a, en posant ${x'_{n}=\log _{a}{x_{n}}}$,

$\lim {x'_{n}}=x'$,

$\lim {x'_{n}y_{n}}=x'y$,

$x^{y}=a^{x'y}=a^{\lim {x'_{n}y_{n}}}=\lim {a^{x'_{n}y_{n}}}=\lim {(a^{x'_{n}})^{y_{n}}}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}$.

L’égalité ${x^{y}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}}$ montre la continuité de la fonction $x^{y}$.