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chapitre VIII. — le champ électromagnétique.

on a

${\begin{array}{c}{\begin{aligned}\omega 'a'_{1}&={\frac {1}{\alpha }}\left(\omega a_{1}-{\frac {v}{c}}\omega \right);&\omega 'a'_{2}&=\omega a_{2}\,;&\omega 'a'_{3}&=\omega a_{3}\,;\end{aligned}}\\{\begin{aligned}\omega '&={\frac {1}{\alpha }}\left(\omega -{\frac {v}{c}}\omega a_{1}\right);\end{aligned}}\end{array}}$

d’où l’on tire

(7-8)

$\omega '={\frac {1}{\alpha }}\omega \left(1-a_{1}{\frac {v}{c}}\right),$

(8-8)

$\left\{{\begin{aligned}a'_{1}&={\frac {a_{1}-{\dfrac {v}{c}}}{1-a_{1}{\dfrac {v}{c}}}},\qquad \\[0.75ex]a'_{2}&={\frac {\alpha a_{2}}{1-a_{1}{\dfrac {v}{c}}}},\\[0.75ex]a'_{3}&={\frac {\alpha a_{3}}{1-a_{1}{\dfrac {v}{c}}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Soient $\mathrm {T}$ la période propre de la source (système $\mathrm {S}$), $\mathrm {T} '$ la période pour l’observateur du système $\mathrm {S} ',$ $\varphi$ l’angle de la vitesse $v$ et du rayon lumineux dans le système $\mathrm {S}$ de la source, $\varphi '$ l’angle de la vitesse $v$ et du rayon reçu par l’observateur ; on a

${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}\,;&\omega '&={\frac {2\pi }{\mathrm {T} '}}\,;&a_{1}&=\cos \varphi \,;&a_{1}'&=\cos \varphi '.\end{aligned}}$

1^o La formule (7-8) exprime l’effet Doppler. Elle s’écrit

$\mathrm {T} '=\mathrm {T} \alpha {\frac {1}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}$ [identique à (14-7)]

ou

(9-8)

$\nu '=\nu {\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {v\cos \varphi }{c}}\right),$

$\nu$ étant la fréquence propre $\left({\frac {1}{\mathrm {T} }}\right)$ de la source et $\nu '$ la fréquence apparente pour l’observateur.

2^o La formule (8-8) exprime l’aberration de la lumière :

(10-8)

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}$ [identique à (15-7).