Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/95

75

chapitre VII. — phénomènes optiques des systèmes en mouvement relatif.

et d’identifier le résultat avec (10-7) pour obtenir les relations suivantes :

(11-7)

${\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T'} }}={\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {v\cos \varphi }{c_{1}}}\right)={\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {nv\cos \varphi }{c}}\right),$

(12-7)

${\frac {\cos \varphi '}{c'_{1}}}={\frac {{\dfrac {\cos \varphi }{c_{1}}}-{\dfrac {v}{c^{2}}}}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c_{1}}}}},$

(13-7)

${\frac {\sin \varphi '}{c'_{1}}}={\frac {\alpha \sin \varphi }{c_{1}\left(1-{\dfrac {v}{c_{1}}}\cos \varphi \right)}}\cdot$

La formule (11-7) exprime l’effet Doppler. Si l’on prend pour système $\mathrm {O} xyz$ un système lié à la source, pour système $\mathrm {O'} x'y'z',$ un système lié à l’observateur, et si l’on fait $n=1$, on retrouve le résultat précédemment établi. La formule (11-7) devient

(14-7)

$\mathrm {T'=T_{\alpha }} {\frac {1}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}\cdot$

Ce n’est qu’en apparence qu’elle diffère de (3-7) ou (4-7) : l’angle qui figure dans (3-7) est mesuré dans le système de l’observateur, alors que celui qui figure dans (14-7) est mesuré dans le système de la source. Introduisons l’angle $\varphi '$ du système de l’observateur ; la formule (2-7) donne, pour $n=1,$

(15-7)

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v\cos \varphi }{c}}}}$

et

(16-7)

$\cos \varphi ={\frac {\cos \varphi '+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {v\cos \varphi '}{c}}}}\cdot$

Remplaçant $\cos \varphi$ par sa valeur en fonction de $\varphi ',$ la formule (14-7) s’écrit

$\mathrm {T} '=\mathrm {T} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v\cos \varphi '}{c}}\right)=\mathrm {T} {\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v_{r}}{c}}\right)\cdot$

C’est bien la formule précédemment établie.