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première partie. — la relativité restreinte.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

3^o Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ les amplitudes respectives de la force électrique (ou magnétique) dans le système $\mathrm {S}$ et dans le système $\mathrm {S} ',$ on obtient, par application de la transformation de Lorentz au vecteur $\mathrm {A} a_{1},$ $\mathrm {A} a_{2},$ $\mathrm {A} a_{3},$ $\mathrm {A} :$

(11-8)

$\mathrm {A} '=\mathrm {A} {\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi \right)$

Nous pouvons maintenant trouver facilement les formules qui expriment l’effet Doppler et l’aberration par réflexion sur miroir en mouvement.

Disposons dans le plan $x'=0$ un réflecteur intégral, sur lequel tombent des ondes planes, et proposons-nous de chercher la fréquence (effet Doppler), l’orientation (aberration) et l’amplitude des ondes après réflexion.

D’abord, dans le système $\mathrm {S} '$ du miroir, nous avons pour la lumière incidente les formules (9-8), (10-8), (11-8).

Pour la lumière réfléchie nous obtenons, dans le système $\mathrm {S} '$ où le miroir est immobile,

(12-8)

$\nu ''=\nu ',\quad \cos \varphi ''=-\cos \varphi ',\quad \mathrm {A} ''=\mathrm {A} '.$

Finalement, par retour au système $\mathrm {S}$ de l’observateur, c’est-à-dire en appliquant à partir de $\nu '',$ $\varphi '',$ $\mathrm {A} ''$ (au lieu de $\nu ,$ $\varphi ,$ $\mathrm {A}$) les formules (9-8), (10-8), (11-8) en y changeant $v$ en $-v,$ et tenant compte de (12-8) nous obtenons pour les ondes réfléchies, dans le système de l’observateur :

(13-8)

$\nu '''$

$=\nu ''{\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v}{c}}\cos \varphi ''\right)$

$=\nu {\frac {1}{\alpha ^{2}}}\left[1-\alpha {\frac {v}{c}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right]$

${\bigg (}\!\!$

effet Doppler

$\!{\bigg )}\!,$

(14-8)

$\cos \varphi '''$

$={\frac {\cos \varphi ''+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi ''}}$

$=-{\frac {\left[1+\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}\right]\cos \varphi -\alpha {\dfrac {v}{c}}}{1-\alpha {\dfrac {v}{c}}\cos \varphi +\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}$

(aberration),

(15-8)

$\mathrm {A} '''$

$=\mathrm {A} ''{\frac {1}{\alpha }}\left(1+{\frac {v}{c}}\cos \varphi ''\right)$

$=\mathrm {A} {\frac {1}{\alpha ^{2}}}\left[1-\alpha {\frac {v}{c}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right]\cdot$

Cette dernière formule seule exigeant que le miroir soit un réflecteur intégral.